Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

14 CHAPITRE 1.
ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Selon l’équation (1.8), le deuxième terme du développement est nul, si bien que :
N = U ,1 ES (1.46)
Lois de comportement : moment
∫
∫
∫
∫
M = x 3 σ 11 dS = x 3 Eε 11 dS = x 3 U ,1 dS + x 3 (θx 3 ) ,1 dS (1.47)
S
S
S
S
Selon l’équation (1.8), le premier terme du développement est nul, il vient :
∫
M = θ ,1 x 2 3dS = θ ,1 I (1.48)
S
∫
avec I = x 2 3 dS, moment quadratique par rapport à x 2 , si bien que :
S
∫
M = x 3 σ 11 dS = EIθ ,1 (1.49)
S
Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I = 2bh3
3
Lois de comportement : cisaillement
∫
T =
S
si bien que :
∫
σ 13 =
Lois de comportement
S
∫
2µε 13 dS =
S
∫
µ(u 1,3 + u 3,1 )dS =
S
µ (θ + V ,1 ) dS (1.50)
T = µS(θ + V ,1 ) (1.51)
Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.
Equations différentielles
N = ESU ,1 T = µS(θ + V ,1 ) M = EIθ ,1 (1.52)
Comportement et conditions d’équilibre fournissent donc le système d’équations
différentielles suivant :
U ,1 = N/ES (1.53)
V ,1 = −θ + T/µS (1.54)
θ ,1 = M/EI (1.55)
N ,1 + t = 0 (1.56)
M ,1 − T = 0 (1.57)
T ,1 + p = 0 (1.58)