Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

6.1. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGÈNE ET POUTRE SANDWICH85
Par intégration sur [0, l] on obtient :
N = 0, T = − P 2
∀x 1 ∈ [0, l]
P
M = −x 1 ∀x 1 ∈ [0, l]
2
En x 1 = l il y a une discontinuité due au chargement extérieur ponctuel. Soit on établit
l’équilibre d’un tronçon de longueur infinitésimal centré sur le milieu de la poutre (ceci
est similaire à l’approche (i)), soit on intègre les équations différentielles en partant de
la condition à la limite x 1 = 2l. On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment est
négatif.
P/2 x
3
-P x
3
P/2 x 3
x 1
-P x 3
P/2 x 3
T
si x 1 < l : T = −P/2 ; M = −P x 1 /2
si x 1 > l : T = P/2 ; M = −P/2(l − x 1 )
M
x 1
Figure 2 : Chargement
T,M
P/2
Pl/2
M
x 1
T
−P/2
Figure 3 : Effort tranchant et moment
2. Trouver l’expression de la flèche pour cette poutre. Application numérique : P =
160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm.
N étant nul, la contrainte σ 11 est égale à Mx 3 /I, avec I = (2/3)bh 3 . Pour x 1 < l,
l’angle θ est tel que θ ,1 = −P x 1 /2EI, et, comme il est nul en x 1 = l, on a :
θ = P (x2 1 − l 2 )
4EI
La flèche s’exprime :
∫ x1
∫ x1
T
V = − θdx 1 +
0
0 µS dx 1
En tenant compte du fait qu’elle s’annule en x 1 = 0, il vient :
V = P x 1
2µS + P l2 x 1
4EI − P x3 1
12EI