Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

66 CHAPITRE 4.
ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
x 2
x 1
0
0’
a
∆ a
Figure 4.4 – Opération de refermeture de fissure pour le calcul de la relation K–G
4.3.4 Critère de propagation en mode I
Il est possible de trouver la relation entre les facteurs d’intensité des contraintes et G.
Nous nous limitons ici au cas du mode I, en évaluant le travail nécessaire pour refermer une
fissure de longueur a+∆a, comme indiqué en figure 4.4. Il s’agit d’exprimer que la densité
d’effort sur le segment OO ′ passe de 0 lorsque la fissure est en O ′ à σ 22 lorsque la fissure
est en O, alors que dans le même temps l’ouverture passe de u 2 à 0. Le résultat obtenu
est : G = K I 2 (k + 1) /8 µ avec k = 3 − 4ν en déformations planes, et k = (3 − ν)/(1 − ν)
en contraintes planes, soit :
Contraintes planes : G = K I 2 /E (4.40)
Déformations planes : G = (1 − ν 2 )K I 2 /E (4.41)
Pour effectuer la démonstration des formules précédentes, le taux de restitution
d’énergie est pris sous la forme :
G = 1 ∫
F d . ∂u dS (4.42)
2 ∂A
Le calcul consiste à évaluer, par unité d’épaisseur :
Formule d’Irwin
G. ∆a = 1 2
S F
∫ a+∆a
Les relations générales sont, en cas de mélange des modes :
a
σ 22 (O) u 2 (O ′ ) dx 1 (4.43)
Contraintes planes : G = 1 E (K I 2 + K II 2 ) (4.44)
Déformations planes :
G = 1 − ν2
E (K I 2 + K II 2 ) (4.45)