Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

1.1. DÉFINITIONS 7
Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelles
on définit les moments quadratiques centraux principaux
⎛ ∫
⎞
( ) I
⎜ 2 = x 2 3dS 0
I = S
⎝
∫ ⎟
⎠ (1.5)
0 I 3 = x 3 2dS
Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi définis. Dans le cas où la
section présente deux axes de symétrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directions
principales.
1.1.2 Principe de Saint-Venant
Le traitement de la théorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant formulé
en 1855 [4, 1]. Dans le cas de matériaux élastiques linéaires, il s’agit d’un théorème dont
on peut trouver une démonstration dans [12]. Il est alors démontré qu’une distribution
d’efforts extérieurs appliquée sur une section á l’une des extrêmités de Ω n’a qu’un effet
localisé au voisinage de cette section, si la résultante et le moment des efforts appliqués
sont nuls.
Ce principe peut être reformulé de la façon suivante : pour les milieux élancé, l’état
mécanique en des points suffisamment éloignés des points d’application des charges
extérieures ne dépend que du torseur résultant des efforts extérieurs.
On en déduit que seul le torseur des efforts intérieurs intervient dans le travail virtuel des
efforts intérieurs, si l’on se place hors de l’effet local des conditions aux limites.
Dans la pratique, la solution donnée par la théorie des poutres est valable lorsqu’on a
parcouru sur la ligne moyenne une distance qui est de l’ordre de deux à trois diamètres,
si bien que la schématisation de type poutre est en général acceptée à partir d’un rapport
10 à 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la section droite.
1.1.3 Modélisation des actions mécaniques
S
Ligne moyenne C
_ x 1
_ x 1
G
σ(x). x 1 ~ _ _ S
dS
_ x 3
σ(x). ~ _ _ x 1
G
_ x 1
Ω
-
Ω-
S
Figure 1.2 – Efforts intérieurs transmis par une section droite