Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

1.4. POUTRE SANDWICH 21
Poutre sandwich : moment
∫
M = x 3 σ 11 dS (1.111)
S
M = U ,1
∫
σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) (1.112)
S
x 3 E(x 3 )dS + θ ,1
∫
S
E(x 3 )x 2 3dS (1.113)
Si E(x 3 ) est une fonction paire en x 3 , et indépendante de x 2 ; la première intégrale est
nulle. On a :
∫
M =< EI > θ ,1 avec < EI >=
S
E(x 3 )x 2 3dS (1.114)
Poutre sandwich : cisaillement
On ne peut pas comme dans les deux cas précédents accepter d’évaluer directement les
composantes de contrainte à partir du comportement. On commet en effet une grossière
erreur en ne prenant pas en compte la continuité de la composante σ 13 à l’interface. La
valeur de σ 13 est limitée par le faible module de la mousse à l’intérieur de la poutre, et
elle doit être nulle en surface externe, de normale x 3 , qui est libre. Une pratique courante
admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliques externes ; on
se limite à l’intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est compris
entre ±h :
∫
T =
S
σ 13 dS ≈
∫ b ∫ +h
0
−h
σ 13 dx 2 dx 3 = (V ,1 + θ)
∫ +h
−h
2bµ(x 3 )dx 3 (1.115)
T ≈< µS > +h
−h (V ,1 + θ) (1.116)
1.4.2 Forme générale des lois de comportement élastiques
Si la distribution des modules n’est pas paire en x 3 , il y a un couplage entre traction
et flexion. On doit écrire :
⎛ ⎞ ⎛ ∫ ∫
⎞ ⎛ ⎞
N E i dS E i x 3 dS 0
U ,1
∫ S ∫
S
⎜M
⎟
⎝ ⎠ = E i x 3 dS E i x 2 ⎜
3dS 0
=
S
S
⎝
∫ ⎟ ⎜ θ ,1
⎟
⎠ ⎝ ⎠
T
0 0 µ i dS V ,1 + θ
On a introduit les quantités suivantes :
S
(1.117)