Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

16 CHAPITRE 1.
ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Si le cisaillement est négligeable
θ = −V ,1 M = −EIV ,11 (1.64)
Théorie de Navier–Bernoulli
Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais
pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si la plus grande dimension de la section droite est
extêmement petite devant la longueur de la poutre (poutre mince), ou si les cisaillements
sont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière
hypothèse. On retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans
ce cas, il faut assurer ε 13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèse
cinématique :
2ε 13 = V ,1 + θ = 0 (1.65)
La conséquence immédiate est que T n’est pas calculable par la loi de comportement,
mais uniquement accessible par les conditions d’équilibre.
1.2.8 Energie potentielle dans le cas de l’élasticité linéaire
Théorème de l’énergie potentielle : Pour les milieux élastiques linéaires, il existe une
énergie potentielle. A l’équilibre cette énergie est stationnaire.
Notons F l’énergie potentielle. Pour un tronçon de poutre élastique et linéaire, en se
plaçant dans le cadre de la théorie de Navier–Bernoulli, on a :
u = (U, V ) cinématiquement admissible → F(u) = 1 ∫
(
E S U
2
2
,1 + E I V,11) 2 dx1 − W ext
L
(1.66)
où W ext est le travail des efforts extérieurs appliqués au tronçon de poutre. Le premier
terme correspond à l’énergie de déformation du tronçon.
Nous montrerons au chapitre sur la stabilité que ce point stationnaire doit être un
minimum local. Il faut donc que le module d’Young soit une grandeur positive.
F est une fonction de fonctions, c’est une fonctionnelle. La condition de stationarité
s’obtient par extraction de la partie linéaire en U ′ et V ′ de la différence F(U + U ′ , V +
V ′ ) − F(U, V ), lorsque U ′ et V ′ sont des perturbations infinitésimales. La différentielle de
F en u = (U, V ) est notée F ,u (u)[u ′ ], avec u ′ = (U ′ , V ′ ). Par le calcul obtient l’expression
suivante :
∫
(U, V ) , (U ′ , V ′ ) → F ,u (u)[u ′ ] =
La condition de stationnarité s’écrit donc :
L
(
E S U,1 U ′
,1 + E I V ,11 V ′
,11)
dx1 − δW ext (1.67)
F ,u (u)[u ′ ] = 0 ∀ (U ′ , V ′ ) cinématiquement admissible (1.68)
Ainsi, la stationnarité de F implique que le principe des travaux virtuels est vérifié. La
réciproque est vraie également.