Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança ... - Uem

2.4 Estimadores de Máxima Verossimilhança
Os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) de µ e β, são obtidos resolvendo itera-
tivamente o seguinte sistema de equações não lineares
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂l(µ,β)
∂µ
∂l(µ,β)
∂β
β n = − µ i=1 δi + β n µ i=1
β ti = 0
µ
1 n
= β i=1 δi + n i=1 δi log( ti
µ ) − n i=1
β ti log µ
ti = 0. µ
(2.12)
No software SAS, as estimativas de máxima verossimilhança podem ser facilmente obti-
das por meio dos procedimentos nlmixed, nlp ou iml uma vez especificada a função log-
verossimilhança. O mesmo fato é válido, para qualquer função densidade de probabilidade
que não permita a obtenção dos estimadores de máxima verossimilhança analiticamente.
2.5 Intervalos de Confiança Assintóticos
Intervalos de confiança com coeficientes de confiança 100 × (1 − α)% para os parâmetros
µ e β, podem ser obtidos diretamente a partir da normalidade assintótica dos estimadores de
máxima verossimilhança (Guitany and Maller, 1992).
IC(µ; 100 × (1 − α)%) = ˆµ ± zα/2 V ar(ˆµ),
IC(β; 100 × (1 − α)%) = ˆ
β ± zα/2 V ar( ˆ β),
em que zα/2 é o α
2 - ésimo percentil da distribuição normal padrão, e V ar(ˆµ) e V ar(ˆ β) são
obtidos na diagonal principal do inverso da matriz de informação de Fisher (Ghitany amd
Maller, 1992).
Na prática, ao invés de se trabalhar com o inverso da informação de Fisher, trabalha-se com
o inverso da matriz de informação observada. A matriz de informação observada localmente
nos estimadores de máxima verossimilhança, pode ser escrita como:
I(ˆµ, ˆ β|t) =
⎡
⎢
⎣
∂ 2 l(µ,β)
∂µ∂µ | µ=ˆµ,β= ˆ β
∂ 2 l(µ,β)
∂µ∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β
∂ 2 l(µ,β)
∂µ∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β
∂ 2 l(µ,β)
∂β∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β
A inversa da matriz de informação observada é definida como:
I −1 (ˆµ, ˆ β) =
V ar(ˆµ) Cov(ˆµ, ˆ β)
Cov(ˆµ, ˆ β) V ar( ˆ β)
15
⎤
⎥
⎦ .
. (2.13)