Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança ... - Uem

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são provenientes. O termo Bootstrap paramétrico é utilizado quando se tem alguma suposição da distribuição, por exemplo, a suposição de que a população segue uma distribuição Weibull, ou ainda tem-se o conhecimento da distribuição amostral de algum estimador e deseja-se obter a distribuição amostral de um outro estimador que depende do primeiro, por exemplo, sabe-se que se uma variável aleatória X tem distribuição normal ou o tamanho da amostra é suficientemente grande (n → ∞) , então ¯ X tem distribuição Normal com média µ e variância σ2 (n−1)S2 , e n σ2 tribuição χ 2 n−1. Logo, o coeficiente de variação, definido como, C.V. = s ¯x amostral ? tem dis- , terá qual distribuição Já o termo Bootstrap não - paramétrico é utilizado quando não se tem nenhuma suposição da distribuição do conjunto de dados, ou seja, a distribuição amostral da qual os dados vieram é desconhecida. Embora a técnica Bootstrap seja teoricamente simples, deve-se ter disponível um software para fazer reamostragem. Os softwares como SPSS, SAS e MINITAB, não têm um procedimento disponível para fazer a reamostragem, entretanto pode-se programar procedimentos de reamostragem. 3.2 O Processo de Reamostragem O processo de reamostragem conhecido como Bootstrap tenta realizar o que seria desejável realizar na prática, se fosse possível, que é repetir a experiência de amostragem B vezes. Além disso, o procedimento trata a amostra observada como se esta representasse exatamente toda a população. Seja t = (t1, t2, ..., tn) uma amostra aleatória contendo n tempos de sobrevivência disponíveis para análise, com δi = 1 para os tempos exatamente observados e δi = 0 , para tempos censurados a direita, (i = 1, 2, ..., n). Logo, o conjunto de dados disponíveis é dado por T = (t, δ). O processo de reamostragem Bootstrap consiste em reamostrar B amostras T ∗(1) , T ∗(2) , ..., T ∗(B) , independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), cada uma de tamanho n. Na terminologia do procedimento Bootstrap, as B amostras (i.i.d.) construídas a partir da população finita T = (t, δ) corresponde em reamostrar com reposição a partir do conjunto T. Após a obtenção das B amostras Bootstrap, pode-se obter as estimativas de máxima ve- rossimilhança do parâmetro de interesse, para cada amostra Bootstrap, chegando ao vetor ∗ ˆθ = ( ˆ θ ∗ (1), ˆ θ ∗ (2), ..., ˆ θ ∗ (B)). A partir do vetor ˆ θ ∗ , pode-se obter a distribuição Bootstrap do estimador ˆ θ, que permite construir intervalos de confiança e também testar hipóteses a respeito do parâmetro θ. A Figura a seguir ilustra a idéia do procedimento Bootstrap. 18
Figura 3.1: O Procedimento Bootstrap. 3.3 Intervalos de Confiança Bootstrap Uma vez que obtida a distribuição empírica do estimador ˆ θ pode-se obter intervalos de confiança Bootstrap para o parâmetro de interesse. O intervalo de confiança Bootstrap, baseado nos percentis da distribuição Bootstrap de θ, proposto for Efrom (1993) é conhecido como intervalo de confiança p-Bootstrap. Hall (1988) sugeriu o intervalo de confiança t-Bootstrap, que sob o ponto de vista assintótico, sua probabilidade de cobertura é aproximadamente igual ao coeficiente de confiança nominal (Efron and Tibshirani, 1993). 3.3.1 Intervalos de Confiança p-Bootstrap Considere t = (t1, t2, ..., tn) um vetor com o conjunto de tempos de sobrevivência disponíveis para análise, com δi = 1 para os tempos de sobrevivência exatamente observados e δi = 0 para tempos de sobrevivência censurados à direita, (i = 1, ..., n). Logo, o conjunto de dados disponíveis é dado por T = (t, δ). Contudo, a seguir são apresentados os passos para construção do intervalo de confiança p-Bootstrap. Passo 1: Retirar, com reposição, de T uma amostra Bootstrap (t ∗ 1, δ ∗ 1), ..., (t ∗ n, δ ∗ n). 19
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