5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai
multe baze, iar un vector x∈V va avea câte un sistem de coordonate
pentru fiecare astfel de bază. Atunci se pune în mod firesc problema
stabilirii unei legături între coordonatele aceluiaşi vector atunci când se
schimbă bazele. Teorema de mai jos rezolvă această problemă, dar înainte
de a o formula trebuie introdusă noţiunea de matrice de trecere (de la o
bază B la o altă bază B') sau matrice de schimbare a bazei.
Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită, n şi fie B = {u1, u2,
…, un}, B' = {v1, v2, …, vn} două baze în acest spaţiu.
Fie aij, j = 1,…,n coordonatele vectorului vi în baza B, adică
vi = ai1u1 + ai2u2 +….+ ainun, i = 1,…,n.
Matricea A = (aij), i, j = 1,…,n este o matrice nesingulară *) . Într-
adevăr, presupunem prin absurd că A este singulară. Considerăm ecuaţia
vectorială
(1.4.1) α1v1 + α2v2 +… + αnvn = 0.
Avem α1[a11u1 + a12u2 +…. + a1nun] + α2[a21u1 + a22u2 +…. + a2nun]
+…+ αn[an1u1 + an2u2 +….+ annun] = 0. Rearanjând termenii, conform
axiomelor spaţiului vectorial, obţinem
[α1a11 + α2a21 +… + αnan1]u1 + [α1a12 + α2a22 +… + αnan2]u2 +…+
[α1a1n + α2a2n +… + αnann]un = 0.
De aici se obţine sistemul algebric liniar şi omogen
α1a11 + α2a21 +… +αnan1 = 0
α1a12 + α2a22 +… +αnan2 = 0
* Prin matrice nesingulară înţelegem o matrice inversabilă. O matrice singulară nu este inversabilă.
23