5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
Teorema 1.6.1 Orice spaţiu vectorial V de dimensiune finită n este
izomorf cu spaţiul K n , unde K este corpul comutativ peste
care este considerat spaţiul V.
Demonstraţie. Fie B = {u1, u2, …, un } o bază fixată în V şi x ∈V
oarecare. Coordonatele lui x în baza B , (x1, x2, …, xn), sunt determinate
în mod unic conform Teoremei 1.2.2.
Construim aplicaţia ϕ : V →K n care asociază fiecărui vector x din
V coordonatele sale în raport cu baza B,
ϕ(x) = (x1, x2, …, xn).
Este evident faptul că aplicaţia astfel construită este bijectivă.
Coordonatele vectorului αx + βy din V, unde α, β ∈K şi x, y ∈V sunt
oarecare iar y = y1u1 + y2u2 + …+ ynun, sunt (αx1 + βy1, αx2 + βy2, …,
αxn + βyn). Ţinând cont de modul în care au fost introduse operaţiile
spaţiului vectorial K n (vezi Exemplul 1.1.2), se observă că ϕ(αx + βy) =
αϕ(x) + βϕ(y). Conform Observaţiei 1.6.1, rezultă concluzia.
Din teorema de mai sus rezultă că două spaţii de dimensiune finită
care sunt izomorfe au aceeaşi dimensiune.
Observaţia 1.6.3 Dacă aplicaţia din Definiţia 1.6.1 este doar injectivă
atunci aceasta se numeşte monomorfism iar dacă este doar surjectivă se
numeşte epimorfism. În cazul în care spaţiile V şi W coincid şi ϕ este un
izomorfism atunci această aplicaţie se va numi automorfism.
41