5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
⎛1
0⎞
⎛1
2⎞
⎛ 0 −1⎞
verifice că familia B = {A1 = ⎜ ⎟,
B1 = ⎜ ⎟ , C1 = ⎜ ⎟ ,
⎝0
0⎠
⎝3
1⎠
⎝−
1 0 ⎠
⎛1
0⎞
D1 = ⎜ ⎟}
este de asemenea o bază pentru M2(R) şi să se
⎝0
1⎠
determine matricea de trecere de la G2 la B.
R: Deoarece ecuaţia vectorială αA1 + βB1 + γC1 + δD1 = 0 admite doar
soluţia nulă α = β = γ = δ = 0, rezultă că B este un sistem liniar
independent în M2(R). Este uşor de văzut că acesta este şi sistem de
generatori, deci este o bază pentru M2(R). Elementele matricei de trecere
de la baza G2 la baza B sunt soluţiile sistemului de ecuaţii vectoriale
A1 = m11A + m12B + m13C + m14D
B1 = m21A + m22B + m23C + m24D
C1 = m31A + m32B + m33C + m34D
D1 = m41A + m42B + m43C + m44D.
Rezolvând sistemul de mai sus obţinem matricea de trecere
⎛ 1
⎜
⎜ 2
M = (mij)i,j =1,…,4 =
⎜ 0
⎜
⎝−
1
60
1
2
−1
0
0
−1/
2
1/
2
0
0 ⎞
⎟
1/
2⎟
1/
2⎟
.
⎟
0 ⎠
12. Să se verifice dacă mulţimile de mai jos sunt subspaţii vectoriale şi în
caz afirmativ să se determine câte o bază pentru acestea.
a) V1 = {(x1, x2, x3, 0), xi ∈R, i = 1, 2, 3} ⊂ R 4
b) V2 = { x ∈R 3 , x = (x1, x2, x3), x1 + x2 - x3 + 1 = 0} ⊂ R 3
c) V3 = {x ∈R 3 , x = (x1, x2, x3), x1 + x2 - x3 = 0, x1 - 2x2 + x3 = 0} ⊂ R 3
d) V4 = {x ∈R 4 , x = (x1, x2, x3, x4), x1 + x2 - x4 = 0, x1 + x2 - x3 = 0} ⊂
R 4 .