5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
rezultă că x + y ∈ I şi αx ∈ I. Aplicăm Definiţia 1.7.2 şi deducem că I
este subspaţiu vectorial al lui V.
Acum vom demonstra că S este subspaţiu vectorial. Fie x, y ∈S şi
α∈K. Din Definiţia 1.8.2 rezultă că există x1, y1 ∈V1 şi x2, y2 ∈ V2 astfel
încât x = x1 + x2 şi respectiv y = y1 + y2.
Se observă că x + y = x1 + x2 + y1 + y2 = x1 + y1 + x2 + y2, şi cum x1
+ y1 ∈V1 iar x2 + y2 ∈V2 ( V1 şi V2 fiind subspaţii vectoriale), deducem
că x + y ∈ S.
Mai trebuie să arătăm că αx ∈ S şi demonstraţia este încheiată.
Avem αx = α( x1 + x2) = αx1 + αx2, conform axiomei d) din definiţia
spaţiului vectorial. Deoarece αx1 ∈V1 iar αx2 ∈V2, este clar că αx ∈ S.
Demonstraţia este încheiată.
Observaţia 1.8.1 Dacă S este suma subspaţiilor vectoriale V1 şi V2 atunci
se poate spune că S este "cel mai mic subspaţiu" care le conţine, adică
dacă S1 este un alt subspaţiu al spaţiului V astfel încât V1 ⊂ S1, V2 ⊂ S1,
atunci S ⊂ S1. Pe de altă parte subspaţiul intersecţie este "cel mai mare "
subspaţiu inclus în cele două subspaţii în sensul că dacă I1 este un alt
subspaţiu astfel încât I1 ⊂ V1 şi I1 ⊂ V2 atunci I1 ⊂ I. Între subspaţiile
sumă şi intersecţie există următoarea relaţie: I ⊂ S.
Observaţia 1.8.2 Noţiunea de sumă a subspaţiilor vectoriale se poate
extinde la un număr n de subspaţii V1 , V2 ,…, Vn ale spaţiului vectorial V
astfel: "Submulţimea S a lui V definită prin S = {x∈V, există xi ∈ Vi, i =
1,…,n astfel încât x = x1 + x2 + … + xn } se numeşte suma subspaţiilor V1
, V2 ,…, Vn." În acelaşi mod ca şi în cazul n = 2 se poate demonstra că S
este un subspaţiu vectorial al lui V.
48