5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
Fiind un sistem compatibil determinat în necunoscutele ξ1, …, ξr se
va determina ξ1 = b11ξr+1 +…+ b1m-rξm , …ξi = bi1ξr+1 +…+ bim-rξm,…, ξr =
br1ξr+1 +…+ brm-rξm. Atunci vectorul x se scrie
x = (b11ξr+1 +…+ b1m-rξm)u1 + … + (bi1ξr+1 +…+ bim-rξm)ui +… +( br1ξr+1
+…+ brm-rξm)ur + ξr+1ur+1 +….+ ξmum.
Avem x = ξr+1(b11 u1 + …+ bi1ui +…+ br1 ur + ur+1) + … + ξr+j(b1j u1 + …+
bijui +…+ brj ur + ur+j) +…+ ξm(b1m-r u1 + …+ bim-rui +…+ brm-r ur + um).
Notăm vj = b1j u1 + …+ bijui +…+ brj ur + ur+j, j = 1,…, m-r şi
observăm că S ={vj, j = 1,…, m-r} este un sistem de generatori pentru V1.
Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că S este şi
sistem liniar independent. Fie α1v1 + …+αjvj +… +αm-rvm-r = 0 o
combinaţie nulă formată cu vectorii mulţimii S. Avem
α1(b11 u1 + …+ bi1ui +…+ br1 ur + ur+1) +…+
αj(b1j u1 + …+ bijui +…+ brj ur + ur+j) + …+
αm-r(b1m-r u1 + …+ bim-rui +…+ brm-r ur + um) = 0.
Rearanjând termenii obţinem
(α1b11 + …+ αjb1j +…+ αm-rbrm-r)u1 +…+
(α1bi1 + …+ αjbij +…+αm-rbim-r)ui +…+
(α1br1 + …+ αjbrj +…+αm-rbrm-r)ur +…+ α1ur+1 +….+ αjur+j + αm-rum = 0.
Ţinând cont de faptul că B este, în particular, sistem liniar independent,
deducem că α1 = α2 = … = αm-r = 0.
De aici rezultă că S este sistem liniar independent şi, fiind şi sistem
de generatori pentru V1, este bază. Dimensiunea subspaţiului vectorial V1
este egală cu numărul vectorilor din S, adică cu m - r.
46