5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
maximal în F ∪ G deducem că acesta este sistem de generatori pentru F
∪ G, deci bază V1 + V2. Dimensiunea lui V1 + V2 este egală cu 3. În
acelaşi mod se poate stabili că {x1, x2} şi respectiv {y1, y2} sunt baze
pentru V1 şi respectiv V2, dimensiunile acestor subspaţii fiind egale cu 2.
Aplicând teorema lui Grassmann se deduce că dim R V1 ∩ V2 = 1. Pentru
a determina V1 ∩ V2, observăm că V1 ∩ V2 = {x ∈R 4 , există numerele
reale a, b, α, β, γ astfel încât ay1 + by2 = αx1 + βx2 + γx3}. Rezolvând
ecuaţia vectorială încât ay1 + by2 = αx1 + βx2 + γx3 cu necunoscutele a, b,
α, β, γ, care este echivalentă cu sistemul
a + b + α - β = 0
a + b - β - γ = 0
- b - α - β - 2γ = 0.
Obţinem a = 2β + 2γ, b = β + γ, α = 2β + 3γ, β, γ ∈R. Deci
V1 ∩ V2 = {x ∈R 4 , x = (2β + 2γ) y1 + (β + γ)y2, β, γ ∈R } sau
V1 ∩ V2 = {x ∈R 4 , x = (β + γ)(3, 3, -1, 0), β, γ ∈R}. Se observă că {(3, 3,
-1, 0)} este o bază pentru V1 ∩ V2.
14. Să se determine câte un complement algebric pentru fiecare din
subspaţiile proprii de la exerciţiile 12 şi 13.
R: a) ex. 12. Am văzut că {E1, E2, E3} este o bază pentru V1. Atunci
subspaţiul vectorial generat de E4 este un complement algebric al lui V1,
conform demonstraţiei Teoremei 1.8.4.
c) ex 12. Deoarece {e1 = (1/3, -2/3,1)} este o bază a spaţiului V3 se
observă că {e1, E2, E3}, unde E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1), este o bază
pentru R 3 . Din aceleaşi motive ca cele folosite mai sus, subspaţiul generat
de {E2, E3} este un complement algebric al lui V3.
62