5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
E4 0 0 -4 -2 -2 1 0 1
B CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 E1 E2 E3 E4
CA 1
1 0 0 1 4/5 2/5 -1/5 0
CA 2
0 1 0 1 2/5 1/5 2/5 0
CA 3
0 0 1 -1 -1/5 2/5 -1/5 0
E4 0 0 0 1 -1 -1 1 1
B CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 E1 E2 E3 E4
CA 1
1 0 0 0 9/5 7/5 -6/5 -1
CA 2
0 1 0 0 7/5 6/5 -3/5 -1
CA 3
0 0 1 0 -6/5 -3/5 4/5 1
CA 4
0 0 0 1 -1 -2 1 1
Deoarece toţi vectorii care constituie coloanele lui A au intrat în
componenţa unei baze, deducem, conform lemei substituţiei, că rangul
matricei este egal cu dimensiunea acesteia, deci matricea este
inversabilă. Inversa matricei A poate fi citită în ultimele 4 coloane ale
tabelului de mai sus, A -1 =
⎛ 9/
5
⎜
⎜ 7 / 5
⎜−
6/
5
⎜
⎝ −1
3. Calculul rangului unei matrice.
7 / 5
6/
5
−
32
3/
5
− 2
−
−
6/
5
3/
5
4/
5
1
−1⎞
⎟
−1⎟
⎟
.
1
⎟
1 ⎠
Din Propoziţia 1.2.1 se poate deduce că pentru a determina rangul
unei matrice A cu n linii şi m coloane şi elemente numere reale este
suficient să determinăm numărul maxim de vectori liniar independenţi din
sistemul de vectori corespunzător coloanelor matricei A.
Pentru a determina acest număr se poate folosi lema substituţiei,
înlocuind vectorii bazei canonice din R n , atât timp cât este posibil cu
vectorii corespunzători coloanelor matricei A. În momentul în care
înlocuirea vectorilor din bază, cu alţi vectori corespunzători coloanelor