5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
Observaţia 1.8.3 Un vector x ∈ S nu se scrie neapărat în mod unic ca o
sumă e doi vectori, unul din V1 şi altul din V2. Dacă există două perechi
de vectori x1 ∈ V1, x2 ∈ V2 şi y1 ∈ V1, y2 ∈ V2 astfel încât x = x1 + x2 =
y1 + y2 atunci este clar că dacă vom nota y = x1 - y1 = y2 - x2 obţinem y∈
V1 şi y∈ V2. Deci y ∈ I şi y1 = x1 - y, y2 = x2 + y.
Pentru a elimina situaţia din observaţia de mai sus vom introduce o
nouă definiţie.
Definiţia 1.8.3 Spunem că suma S a subspaţiilor vectoriale V1 şi V2 este
directă dacă şi numai dacă orice vector x ∈ S se scrie în
mod unic ca o sumă de doi vectori unul din V1 şi unul din
V2. În acest caz vom nota S = V1 ⊕ V2.
Observaţia 1.8.4 Ca şi în Observaţia 1.8.2, definiţia de mai sus poate fi
extinsă la cazul a n subspaţii vectoriale: "Spunem că suma S a
subspaţiilor vectoriale V1, V2,…, Vn este directă dacă şi numai dacă orice
vector x ∈ S se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din Vi, i = 1,…,n.
Vom folosi notaţia S = V1 ⊕ V2 ⊕…⊕ Vn "
O consecinţă directă a Observaţiei 1.8.3 este teorema de mai jos.
Teorema 1.8.2 Fie V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale spaţiului V.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1) S = V1 ⊕ V2;
2) I = (0).
Demonstraţie. " 1) ⇒ 2)". Presupunem prin absurd că există y ∈ I, y ≠ 0.
Fie x ∈S. Există x1 ∈ V1, x2 ∈ V2 astfel încât x = x1 + x2. Deoarece y ∈ I
49