5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
R: Nu, deoarece operaţia "+" nu este comutativă.
3. Fie mulţimea R 2 pentru care definim operaţiile
(x1, x2) + (y1, y2) = (2x1 + 2y1, 2x2 + 2y2), (x1, x2), (y1, y2) ∈ R 2
α(x1, x2) = (αx1, αx2), α ∈R.
Să se studieze dacă R 2 este spaţiu vectorial real.
R: Nu, deoarece operaţia "+" nu are element neutru.
4. Să se demonstreze că mulţimea matricelor cu n linii şi m coloane şi
elemente reale, Mnm(R), împreună cu operaţiile de adunare a
matricelor şi înmulţire a acestora cu numere reale are o structură de
spaţiu vectorial real. Să se determine o bază a acestui spaţiu.
R: Se verifică axiomele Definiţiei 1.1.3. Definim matricele Ei,j ∈ Mnm(R)
astfel Ei,j =
⎛0
⎜
⎜ .
i⎜
0
⎜
⎜ .
⎜
⎝0
...
...
...
...
...
j
0
.
1
.
0
...
...
...
...
...
1,…,m} este o bază în Mnm(R).
0⎞
⎟
. ⎟
0⎟
. Familia B = { Ei,j , i = 1,…, n, j =
⎟
. ⎟
0
⎟
⎠
5. Să se demonstreze că spaţiul vectorial de la Exerciţiul 4 este izomorf
cu spaţiul vectorial real R nm .
R: Dacă x∈R nm are coordonatele (ξ1, ξ2, …, ξnm) într-o bază din R nm ,
atunci se construieşte aplicaţia ϕ : R nm → Mnm(R),
55