5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

) G2 = {A = ⎜ ⎟
M2(R)
Algebră liniară
⎛0 −1⎞
⎛1
1⎞
⎛ 1 −1⎞
⎛1
1⎞
, B = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⎟ , D = ⎜ ⎟ } ⊂
⎝0
0 ⎠ ⎝1
1⎠
⎝−
1 1 ⎠ ⎝2
2⎠
c) G3 = {x1 = (1, -1, 2, 3), x2 = (0, 1, 1, 1), x3 = (1, 2, -1, 1) , x4 = (2, 2, 2,
4)} ⊂ R 4 .
d) G4 = {y1 = (1, i, 1), y2 = (1 + i, 0, 1), y3 = (1, i, 1)} ⊂ C 3 , unde C 3 este
considerat spaţiu vectorial real.
R: a) Familia G1 este liniar independentă, deci este bază pentru spaţiul
generat G 1. Avem G 1 = {αt 3 + βt 2 + (β + γ)t + β + γ, α, β, γ ∈R}, iar
dimRG 1 = 3.
b) Se constată că familia G2 este liniar independentă, fiind la rândul ei
bază pentru spaţiul generat G 2. Deoarece dimRG 2 = 4 = dimR M2(R),
deducem că G 2 = M2(R), conform Observaţiei 1.7.1.
c) Rangul matricei care pe coloane componentele vectorilor din familia
G3 este 4. Atunci rezultă, conform Propoziţiei 1.2.1, că familia G3 este
liniar independentă şi deci este bază în G 3. Ca şi în cazul punctului b)
se deduce că G 3 = R 4 .
d) Deoarece relaţia αy1 + βy2 + γy3 = 0 este echivalentă cu sistemul β =
0, α + γ = 0, care are şi alte soluţii în afara soluţiei nule, rezultă că
familia G4 este liniar dependentă. Se observă că {y1, y2} este sistem
liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru G4 este o bază
pentru G 4. Deci dimRG 4 = 2, iar G 4 = {αy1 + βy2, α, β ∈R}.
11. Se consideră familia de vectori G2 de la exerciţiul 10 despre care s-a
demonstrat că este o bază a spaţiului vectorial real M2(R). Să se
59