5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
rezultă că y1 = x1 - y ∈V1 şi y2 = x2 + y ∈V2, iar x = y1 + y2, y1 ≠ x1. De
aici rezultă că scrierea lui x ca o sumă de doi vectori, unul din V1 şi altul
din V2 nu este unică, ceea ce contrazice ipoteza.
Deci presupunerea făcută este falsă şi I = (0). Raţionând
asemănător se poate demonstra implicaţia " 2) ⇒ 1)".
Teorema 1.8.3 Dacă B1 = {u1, u2,…,up} şi B2 = {v1, v2,…,vk} sunt baze în
subspaţiile V1 şi V2 iar V1∩V2 = (0) atunci B1 ∪ B2 este o
bază în V1 ⊕ V2.
Demonstraţie. Este uşor de văzut că, în general, dacă G1, G2 sunt sisteme
de generatori pentru V1 şi V2 atunci G1 ∪ G2 este sistem de generatori
pentru V1 + V2. De aici se deduce că într-adevăr B1 ∪ B2 este sistem de
generatori pentru V1 ⊕ V2.
Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că B1 ∪ B2
este sistem liniar independent. Dacă α1u1 + α2u2 + ….+ αpup + β1v1 + β2v2
+…+ βkvk = 0 este o combinaţie nulă formată cu vectorii familiei B1 ∪ B2
atunci α1u1 + α2u2 + ….+ αpup = - β1v1 - β2v2 -…- βkvk ∈V1 ∩V2 = (0).
De aici obţinem
α1u1 + α2u2 + ….+ αpup = 0,
β1v1 + β2v2 +…+ βkvk = 0 şi,
ţinând cont că B1 şi B2 sunt în particular sisteme liniar independente,
rezultă α1 = α2 =…= αp = β1 = β2 =…= βk = 0. Am obţinut concluzia.
Teorema 1.8.4 Dacă V1 este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial
V atunci există în V un subspaţiu vectorial V2 astfel încât
V = V1 ⊕ V2. V2 se va numi subspaţiul complementar al
lui V1 în V sau complementul algebric al lui V1.
50