5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
Acum se observă că relaţia AA -1 = I poate fi scrisă sub forma
α1jCA 1 + … + αijCA i + …+ αnjCA n = Ej T , j = 1,…,n, ceea ce este echivalent
cu faptul că elementele de pe coloana j a matricei inverse sunt coordo-
natele vectorului Ej al bazei canonice din R n în baza formată din vectorii
reprezentaţi *) de coloanele matricei A.
Exerciţiu: Să se arate că dacă A este o matrice de ordinul n, inversabilă
atunci vectorii reprezentaţi de coloanele matricei A formează o bază în
R n .
⎛ 1
⎜
⎜ 0
Exemplul 1.5.2 Să se cerceteze dacă matricea A =
⎜−
1
⎜
⎝ 2
este inversabilă şi în caz afirmativ să i se determine inversa.
Aplicăm lema substituţiei şi avem:
Tabelul 1.5.5
B CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 E1 E2 E3 E4
E1 1 0 -1 2 1 0 0 0
E2 0 1 2 -1 0 1 0 0
E3 -1 2 0 1 0 0 1 0
E4 2 -1 1 1 0 0 0 1
B CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 E1 E2 E3 E4
CA 1
1 0 -1 2 1 0 0 0
E2 0 1 2 -1 0 1 0 0
E3 0 2 -1 3 1 0 1 0
E4 0 -1 3 -3 -2 0 0 1
B CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 E1 E2 E3 E4
CA 1
1 0 -1 1 1 0 0 0
CA 2
0 1 2 0 0 1 0 0
E3 0 0 -5 1 1 -2 1 0
31
0
1
2
−1
−1
2
0
1
2 ⎞
⎟
−1⎟
1 ⎟
⎟
1 ⎠
* prin vector din R n corespunzător coloanei unei matrice cu n linii vom înţelege vectorul ale cărui componente sunt
elementele coloanei respective.