5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

More documents

Recommendations

Info

Spaţii vectoriale finit dimensionale u1 1 0 0 -3 1 0 -2 1 -2 -3 E2 0 0 0 1 -1 1 1 -1 0 2 u2 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 u3 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 E5 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5 u1 1 0 0 0 1 0 -2 7 1 0 E2 0 0 0 0 -1 1 1 -3 -1 1 u2 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 u3 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 0 u4 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5 u1 1 0 0 0 0 1 -1 4 0 1 u5 0 0 0 0 1 -1 -1 3 1 -1 u2 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 u3 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 0 u4 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 Deci matricea de trecere este A = 58 ⎛ 1 ⎜ ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝− 1 −1 −1 1 0 −1 4 1 − 2 2 3 0 0 0 1 1 1 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ . Pentru ⎟ 1 ⎟ −1 ⎟ ⎠ a determina coordonatele vectorului x în baza B2 se poate folosi formula (1.4.2) şi avem ⎛ ξ ⎜ ⎜ξ ⎜ξ ⎜ ⎜ξ ⎜ ⎝ξ ⎞ ⎛ 1/ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 1/ 2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝− 1/ 2 1 2 3 4 5 3/ 4 −1/ 2 −1/ 4 3/ 4 −1/ 4 coordonate sunt (5/2, 5/2, 3/4, 7/4, -9/2 ). 3/ 2 1/ 2 1/ 2 − 2 3/ 2 −1/ 4 −1/ 2 −1/ 4 3/ 4 3/ 4 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 4 − 3/ 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ . Noile ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ 10. Să se determine subspaţiile generate de următoarele familii de vectori. Să se găsească câte o bază în aceste subspaţii şi să se precizeze dimensiunea lor. a) G1 = {p1 = t 2 + t + 1 , p2 = t + 1, p3 = t 3 } ⊂ P(t),
) G2 = {A = ⎜ ⎟ M2(R) Algebră liniară ⎛0 −1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛1 1⎞ , B = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⎟ , D = ⎜ ⎟ } ⊂ ⎝0 0 ⎠ ⎝1 1⎠ ⎝− 1 1 ⎠ ⎝2 2⎠ c) G3 = {x1 = (1, -1, 2, 3), x2 = (0, 1, 1, 1), x3 = (1, 2, -1, 1) , x4 = (2, 2, 2, 4)} ⊂ R 4 . d) G4 = {y1 = (1, i, 1), y2 = (1 + i, 0, 1), y3 = (1, i, 1)} ⊂ C 3 , unde C 3 este considerat spaţiu vectorial real. R: a) Familia G1 este liniar independentă, deci este bază pentru spaţiul generat G 1. Avem G 1 = {αt 3 + βt 2 + (β + γ)t + β + γ, α, β, γ ∈R}, iar dimRG 1 = 3. b) Se constată că familia G2 este liniar independentă, fiind la rândul ei bază pentru spaţiul generat G 2. Deoarece dimRG 2 = 4 = dimR M2(R), deducem că G 2 = M2(R), conform Observaţiei 1.7.1. c) Rangul matricei care pe coloane componentele vectorilor din familia G3 este 4. Atunci rezultă, conform Propoziţiei 1.2.1, că familia G3 este liniar independentă şi deci este bază în G 3. Ca şi în cazul punctului b) se deduce că G 3 = R 4 . d) Deoarece relaţia αy1 + βy2 + γy3 = 0 este echivalentă cu sistemul β = 0, α + γ = 0, care are şi alte soluţii în afara soluţiei nule, rezultă că familia G4 este liniar dependentă. Se observă că {y1, y2} este sistem liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru G4 este o bază pentru G 4. Deci dimRG 4 = 2, iar G 4 = {αy1 + βy2, α, β ∈R}. 11. Se consideră familia de vectori G2 de la exerciţiul 10 despre care s-a demonstrat că este o bază a spaţiului vectorial real M2(R). Să se 59
Page 1 and 2:
Algebră liniară CAPITOLUL 1 SPAŢ
Page 3 and 4: Algebră liniară grec, în timp ce
Page 5 and 6: Algebră liniară Conform operaţie
Page 7 and 8: Algebră liniară de vectori ai fam
Page 9 and 10: Algebră liniară Exemplul 1.2.1 Da
Page 11 and 12: Algebră liniară Propoziţia urmă
Page 13 and 14: Algebră liniară nulă formată cu
Page 15 and 16: Algebră liniară Exerciţiului 1.2
Page 17 and 18: Algebră liniară Observaţia 1.3.1
Page 19 and 20: Algebră liniară 1.4 Schimbarea ba
Page 21 and 22: Algebră liniară ……………
Page 23 and 24: Algebră liniară Dacă (v1, v2,
Page 25 and 26: Algebră liniară Exemplul 1.5.1 Fi
Page 27 and 28: Algebră liniară Acum se observă
Page 29 and 30: Algebră liniară matricei A, nu ma
Page 31 and 32: Algebră liniară de fapt x T repre
Page 33 and 34: Algebră liniară CA 4 0 0 0 1 1 -5
Page 35 and 36: Algebră liniară 1.6 Spaţii vecto
Page 37 and 38: Algebră liniară Teorema 1.6.1 Ori
Page 39 and 40: Algebră liniară deoarece au loc
Page 41 and 42: Algebră liniară şi rangul matric
Page 43 and 44: Algebră liniară Definiţia 1.7.3
Page 45 and 46: Algebră liniară Observaţia 1.8.3
Page 47 and 48: Algebră liniară Demonstraţie. Fi
Page 49 and 50: Algebră liniară În ceea ce prive
Page 51 and 52: Algebră liniară R: Nu, deoarece o
Page 53: Algebră liniară 8. Să se calcule
Page 57 and 58: Algebră liniară R: a) Da, V1 este
Page 59 and 60: Algebră liniară d) ex.12. În spa
show all

5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?