5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
În ceea ce priveşte spaţiul sumă a spaţiilor V1 şi V2, ştim că acesta
este generat de G1 ∪ G2, deci V1 + V2 = {x∈V, x = α1 x1 + α2 x2 + β1 y1 +
β2 y2 + β3 y3, αi, βj ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3}.
Pentru a găsi o bază este suficient să determinăm o familie cu cel
mai mare număr de vectori liniar independenţi, conform demonstraţiei
Teoremei 1.3.1. Pentru aceasta vom folosi lema substituţiei, aşa cum s-a
văzut în capitolul de aplicaţii ale acesteia. Vom înlocui vectorii din baza
canonică cu vectori ai familiei G1 ∪ G2 atât timp cât este posibil, adică
atât timp cât vectorii din G1 ∪ G2, care nu au intrat încă în bază au
coordonate nenule în liniile corespunzătoare vectorilor din baza
canonică, ce nu au fost încă eliminaţi.
Dacă această condiţie nu mai este satisfăcută, atunci este clar că
vectorii din G1 ∪ G2 care nu au intrat în componenţa bazei sunt
combinaţii liniare de vectorii din G1 ∪ G2 care au intrat. Deci acei
vectori intraţi în bază sunt sistem de generatori pentru G1 ∪ G2 şi fiind
sistem liniar independent, formează o bază pentru V1 + V2.
Tabelul 1.8.1
a) b)
B x1 x2 y1 y2 y3 B x1 x2 y1 y2 y3
E1 1 -1 0 -1 1 x1 1 0 1 0 0
E2 0 2 0 0 2 E2 0 0 2 -2 0
E3 1 0 1 0 0 x2 0 1 0 1 0
E4 3 1 -1 1 1 E4 0 0 -3 0 0
E5 2 0 1 0 1 y3 0 0 -1 0 1
B x1 x2 y1 y2 y3 B x1 x2 y1 y2 y3
x1 1 -1 0 -1 1 x1 1 0 0 0 0
E2 0 2 0 0 2 E2 0 0 0 -2 0
E3 0 1 1 1 -1 x2 0 1 0 1 0
0 4 -1 4 -2 y1 0 0 1 0 0
E4
53