5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
8. Să se calculeze dim C C şi respectiv dim R C.
R: se observă că {1} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste el
însuşi în timp ce {1, i} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste
corpul numerelor reale. Deci dim C C = 1 iar dim R C = 2.
9. Să se demonstreze că B1 = {u1 = (1, 1, 0, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0, 0), u3 =
(3, 2, 1, 1, 0), u4 = (0, 0, 1, 1, 1), u5 = (1, 0, 0, 0, 0)} şi respectiv B2 =
{v1 = (1, 1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0, 1, 0), u3 = (2, 0, 1, 0, 2), u4 = (1, 0, 1,
1, 1), u5 = (0, 1, 1, 1, 1)} sunt baze în R 5 şi să se determine matricea
de trecere de la baza B1 la B2. Dacă (1, 1, 1, 1, 1) sunt coordonatele
unui vector x în baza B1 să se determine coordonatele acestuia în baza
B2.
R: Dacă E1, E2,…,E5 este baza canonică în R 5 , atunci se aplică Lema
substituţiei şi avem:
Tabelul 1.9.1
B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5
E1 1 1 3 0 1 1 0 2 1 0
E2 1 0 2 0 0 1 1 0 0 1
E3 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
E4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
E5 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1
B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5
u1 1 1 3 0 1 1 0 2 1 0
E2 0 -1 -1 0 -1 0 1 -2 -1 1
E3 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
E4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
E5 1 0 0 1 0 0 0 2 1 1
B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5
u1 1 0 2 -1 1 0 0 1 0 -1
E2 0 0 0 1 -1 1 1 -1 0 2
u2 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
E4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
E5 1 0 0 1 0 0 0 2 1 1
B u1 u2 u3 u4 u5 v1 v2 v3 v4 v5
57