5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
Demonstraţia ar fi încheiată dacă am putea arăta că B = {u1, u2,…,up, fp+1,
fp+2,…,fp+r, vp+1, vp+2,…,vp+k } este o bază în V1 + V2. Faptul că B este un
sistem de generatori pentru V1 + V2 rezultă conform observaţiei generale
făcute în cadrul demonstraţiei Teoremei 1.8.3. Trebuie să mai arătăm că
B este sistem de vectori liniar independent. Facem o combinaţie nulă cu
vectorii familiei B şi cu scalari din K. Avem
(1.8.1) α1u1 + α2u2 + ….+ αpup + β1vp+1 + β2vp+2 +…+ βkvp+k +
γ1fp+1 + γ2fp+2 +…+ γrfp+r = 0.
Deci α1u1 + α2u2 + ….+ αpup + β1vp+1 + β2vp+2 +…+ βkvp+k =
- γ1fp+1 - γ2fp+2 -…- γrfp+r =not z ∈V1 ∩ V2.
De aici şi din faptul că B0 este bază în V1 ∩ V2 rezultă că z se scrie
în mod unic ca o combinaţie de vectori ai familiei B0.
Deci există scalarii ζi, i = 1,…,p astfel încât z = ζ1u1 + ζ2u2 + ….+
ζpup. Din ultimele două relaţii rezultă că ζ1u1 + ζ2u2 + ….+ ζpup = α1u1 +
α2u2 + ….+ αpup + β1vp+1 + β2vp+2 +…+βkvp+k.
Deoarece vectorul z ∈ V2 are coordonate unice în baza B2,
deducem că β1 = β2 =… = βk = 0 şi αi = ζi, oricare ar fi i = 1,.., p.
Înlocuind valorile βi, i =1,…,k găsite mai sus în relaţia (1.8.1) şi
ţinând cont de faptul că B1 este sistem liniar independent deducem că αi =
0, i = 1,…, p şi γi = 0, i = 1,…, r. Astfel am demonstrat că toţi coeficienţii
din relaţia (1.8.1) sunt nuli, deci B este sistem liniar independent.
Demonstraţia a fost încheiată.
Exemplul 1.8.1 Se consideră subspaţiile V1 şi V2 ale spaţiului R 5 generate de familiile de vectori G1
= {x1 = (1, 0, 1, 3, 2), x2 = (-1, 2, 0, 1, 0)} şi respectiv G2 = {y1 = (0, 0, 1, -1, 1), y2 = (-1, 0, 0, 1, 0), y3 =
(1, 2, 0, 1, 1)}. Să se găsească câte o bază pentru spaţiile sumă şi respectiv intersecţie, dacă
aceste sunt nenule.
52