5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
d) ex.12. În spaţiul V4 avem baza { e1 = (1, 0, 1, 1), e2 = (0, 1, 1, 1) } care
poate fi completată cu vectorii E3, E4 (vectorii bazei canonice din R 4 ) la o
bază în R 4 . Deci subspaţiul generat de {E3, E4} este un complement
algebric al lui V3.
Raţionând ca mai sus se poate stabili că un subspaţiu algebric
complementar al subspaţiului V1 ⊂ R 4 de la Exerciţiul 13 este generat de
familia {E3, E4} iar pentru subspaţiul V2 de la acelaşi exerciţiu putem
considera subspaţiul generat de familia {E1, E4}.
15. Să se verifice dacă suma perechilor de spaţii vectoriale de mai jos este
directă şi în caz afirmativ să se calculeze spaţiul sumă.
a) V1 = {x ∈R 5 , x = (x1, x2, x3, x4, x5), x1 + x2 - x4 + x5 = 0,
x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0, x1 + x2 - x5 = 0} şi V2 = {(x1, x2, x3, x4, 0), xi ∈R, i =
1, 2, 3,4} ⊂ R 5 .
b) V1 = {x ∈R 4 , x = (x1, x2, x3, x4), x1 + x2 - 2x3 + x4 = 0, x1 - x2 + x3 - x4
= 0, 2x1 - x3 = 0} şi V2 = {x ∈R 4 , x = (x1, x2, x3, x4), 2x1 - x3 + x4 = 0,
x1 - x2 + x4 = 0}.
R: Pentru a vedea dacă suma este directă este suficient să calculăm V1 ∩
V2 şi să aplicăm Teorema 1.8.2. a) Se observă că V2 = {x ∈R 5 , x = (x1, x2,
x3, x4, x5), x5 = 0} astfel că V1 ∩ V2 este mulţimea vectorilor x = (x1, x2,
x3, x4, x5) din R 5 ale căror coordonate satisfac sistemul
x1 + x2 - x4 + x5 = 0, x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0, x1 + x2 - x5 = 0, x5 = 0.
Acest sistem este compatibil nedeterminat, admiţând şi soluţii
diferite de soluţia nulă. Deci V1 ∩ V2 ≠ (0) şi suma nu este directă.
b) Ca şi în cazul punctului a) V1 ∩ V2 este mulţimea vectorilor x = (x1, x2,
x3, x4) din R 4 ale căror coordonate satisfac sistemul
63