5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
"de mână" a unor calcule ce comportă lucrul cu spaţii vectoriale de
dimensiuni mari.
Lema 1.5.1 (Lema Substituţiei) Fie B = {u1, u2,…, un} o bază în spaţiul
vectorial V şi y∈V, y ≠ 0 cu coordonatele (y1, y2,…, yn) în
baza B. Dacă coordonata corespunzătoare indicelui i, yi,
este nenulă atunci familia B1 = {u1, u2,…, ui-1, y, ui+1,…, un}
este tot o bază pentru spaţiul V. Mai mult, dacă
coordonatele unui vector v∈V în baza B sunt (v1, v2,…, vi-1,
vi, vi+1,…,vn), atunci coordonatele în noua bază vor fi v'p= vp
- vi( yi) -1 yp, p∈N * , p≤ n, p ≠ i, v'i = ( yi) -1 v.
Demonstraţie. Înainte de a începe demonstraţia facem observaţia că dacă
y ≠ 0 atunci cel puţin una din coordonatele sale în baza B este nenulă, în
caz contrar am obţine y = 0. Avem
y = y1u1 + y2 u2 + … + yi-1 ui-1 + yi ui + yi+1 ui+1 + … + yn un.
Prin adunarea vectorului - y - yi ui în ambii membrii ai relaţiei de
mai sus se obţine
- yi ui = y1u1 + y2 u2 + … + yi-1 ui-1 - y + yi+1 ui+1 +… + yn un .
Înmulţind noua relaţie cu (- yi) -1 avem
(1.5.1) ui = (- yi) -1 y1u1 + (- yi) -1 y2 u2 + …+ (- yi) -1 yi-1 ui-1 - (- yi) -1 y +
(- yi) -1 yi+1 ui+1 + … + (- yi) -1 yn un.
De aici se deduce, conform Exerciţiului 1.2.1, că familia B1 = { u1,
u2,…,ui-1, yi, ui,…, un } este un sistem de generatori pentru V. Deoarece
Teorema 1.3.1 ne asigură că din orice sistem de generatori putem extrage
o bază a spaţiului, deducem că B1 este chiar o bază.
Într-adevăr, dacă am găsi o submulţime strictă a lui B1 care să fie
bază atunci aceasta ar avea un număr de elemente mai mic strict decât n
ceea ce ar contrazice Corolarul 1.3.1.
26