5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
Implicaţia reciprocă rezultă aplicând succesiv 1) şi 2). Astfel avem
ϕ(αx +β y) = ϕ(αx) + ϕ(βy), conform 1) şi ϕ(αx) + ϕ(βy) = αϕ(x) +
βϕ(y), conform 2). Demonstraţia este încheiată.
Observaţia 1.6.2 a)Vectorul nul (notat 0V ) din spaţiul V este dus prin
izomorfisful ϕ în vectorul nul (notat 0W ) din spaţiul W. b) Familiile liniar
independente, respectiv liniar dependente din V sunt transformate prin
izomorfismul ϕ tot în familii liniar independente, respectiv liniar
dependente.
Afirmaţia a) a observaţiei de mai sus rezultă observând că dacă
vom aplica funcţia ϕ identităţii 0 + x = x, x ∈V, obţinem ϕ(0) + ϕ(x) =
ϕ(x) pentru toţi x∈V. Adunând opusul lui ϕ(x) în ambii membrii ai
ultimei relaţii avem ϕ(0) = 0W şi rezultă concluzia.
Pentru a demonstra b) luăm F = {x1, x2, …, xn } o familie liniar
independentă din V şi notăm cu ϕ(F) mulţimea {ϕ(x1), ϕ(x2), …, ϕ(xn) },
transformata sa prin izomorfismul ϕ.
Considerăm o combinaţie liniară nulă cu vectorii familiei ϕ(F):
α1ϕ(x1) + α2ϕ(x2) +….+ αnϕ(xn) = 0. Aplicăm proprietatea 2) din
definiţia izomorfismului şi avem
ϕ(α1x1+ α2x2+….+ αnxn) = 0W.
Ţinând cont de afirmaţia a) şi de faptul că ϕ este aplicaţie bijectivă
deducem că α1x1+ α2x2+….+ αnxn = 0V.
Din ipoteză rezultă că α1 = α2 =…= αn = 0 şi rezultă că ϕ(F) este
liniar independentă. Folosind definiţia familiilor liniar dependente se
demonstrează şi afirmaţia referitoare la familii liniar dependente
(exerciţiu).
40