5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
componenţa unei baze. Maximalitatea acestui număr este asigurată de
Corolarul 1.3.1. Într-adevăr vectorii CA 1 , CA 2 , CA 4 vor constitui o bază
pentru spaţiul generat (se va vedea secţiunea 1.7 a acestui capitol) de
vectorii CA i , i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} şi orice altă subfamilie formată din mai
mult de 3 vectori va fi liniar dependentă.
4. Rezolvarea sistemelor liniare.
Considerăm un sistem liniar de forma Ax = b, unde A este o
matrice cu n linii şi m coloane, n, m ∈N * , cu elemente numere reale iar x
şi b sunt matrice coloană cu m şi respectiv n elemente. Notăm cu A
matricea extinsă asociată sistemului (este matricea A la care se adaugă
coloana b a termenilor liberi). Se cunosc următoarele rezultate:
1. Dacă rang A = rang A =not r atunci sistemul este compatibil.
1a) Dacă r = m (m este numărul de necunoscute) atunci sistemul
este compatibil determinat (soluţia există şi este unică).
1b) Dacă r < m atunci sistemul este compatibil nedeterminat
(sistemul are o infinitate de soluţii).
2. Dacă rang A ≠ rang A atunci sistemul este incompatibil.
Pentru a determina fiecare din situaţiile de mai sus putem aplica
lema substituţiei. Astfel,
a) faptul că sistemul este incompatibil sau compatibil determinat
sau nu (situaţiile 1 şi 2 de mai sus) se poate stabili folosind metoda
prezentată în paragraful precedent pentru determinarea rangului matricei
asociate sistemului şi respectiv matricei extinse.
b) dacă sistemul este compatibil determinat, este uşor de văzut că
34