5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Spaţii vectoriale finit dimensionale
4. Completarea unui familii de vectori liniar independenţi din R n la o
bază. Este uşor de văzut că aplicarea de una sau mai multe ori a lemei
substituţiei reprezintă o altă demonstraţie a Teoremei 1.3.3 (exerciţiu).
Exemplul 1.5.6 Se consideră familia de vectori din R 6 , F = {v1 = (1, 1, 1,
2, 2, 2), v2 = (0, 2, 1, 3, 2, 1), v3 = (1, 0, -1, 0, 1, -1)}. Să se verifice dacă
aceasta este liniar independentă şi în caz afirmativ să se completeze la o
bază din R 6 .
Vom aplica lema substituţiei pentru a înlocui pe rând vectorii bazei
canonice din R 6 cu vectorii familiei F.
Dacă toţi vectorii familiei F vor intra în componenţa unei baze
atunci F este familie liniar independentă iar baza respectivă va constitui
o soluţie a problemei.
Tabelul 1.5.10
a) B v1 v2 v3 b) B v1 v2 v3
E1 1 0 1 v1 1 0 1
E2 1 2 0 E2 0 2 -1
E3 1 1 -1 E3 0 1 -2
E4 2 3 0 E4 0 3 -2
E5 2 2 1 E5 0 2 -1
E6 2 1 -1 E6 0 1 -3
c) B v1 v2 v3 d) B v1 v2 v3
v1 1 0 1 v1 1 0 0
E2 0 0 -1 E2 0 0 0
v2 0 1 -2
v2 0 1 0
E4 0 0 4 E4 0 0 0
E5 0 0 3 E5 0 0 0
E6 0 0 -1 v3 0 0 1
Din tabelul de mai sus rezultă că familia F este liniar independentă
iar B= {v1, v2, v3, E2, E4, E5} este baza căutată.
38