5 CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 ...

Algebră liniară
deoarece au loc în V, deci şi în V1 ⊆ V. Faptul că orice x ∈ V1 are un
opus tot în V1 rezultă din condiţia 2) în care luăm α = -1 şi din Observaţia
1.1.2. Deoarece elementul neutru la adunare din V aparţine şi lui V1, căci
0 = 0x ∈V1 oricare ar fi x ∈V1, conform 2), deducem că acesta este
element neutru pentru operaţia de adunare a vectorilor din V1.
În concluzie, V1 este grup abelian cu operaţia de adunare a
vectorilor. Axiomele a) - d) din Definiţia 1.1.3 sunt verificate în mod
evident (sunt consecinţe ale condiţiei 2) şi ale ipotezei că V este spaţiu
vectorial). Deci V1 este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei 1.7.1.
Exemplul 1.7.1 Submulţimea V1 = {(x1, x2, x3, 0), xi ∈∈∈∈ R, i = 1, 2, 3} a lui R 4 , împreună cu operaţiile
cu operaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire a acestora cu scalari, moştenite de pe R 4 este
un subspaţiu vectorial al lui R 4 .
Într-adevăr, dacă x = (x1, x2, x3, 0) şi y = (y1, y2, y3, 0) sunt doi
vectori din V1 atunci x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, 0) ∈V1, iar α x = (α
x1, α x2, α x3, 0) ∈V1, oricare ar fi α ∈ K. Atunci, conform Definiţiei
1.7.2, V1 este subspaţiu vectorial al lui R 4 .
Exemplul 1.7. 2 Spaţiul întreg şi mulţimea formată numai din vectorul nul din V sunt subspaţii
liniare în V. Ele se numesc subspaţii improprii. Celelalte subspaţii ale lui V se numesc subspaţii
proprii.
Observaţia 1.7.1 Fie V1 un subspaţiu propriu al spaţiului vectorial V.
Dimensiunea lui V1 este mai mică strict decât dimensiunea lui V,
deoarece orice bază a lui V1 este sistem liniar independent în V şi ,
conform Teoremei 1.3.2, numărul de vectori din acesta este mai mic decât
dimensiunea lui V. Deci orice bază din V are un număr de elemente mai
mare sau egal decât numărul de vectori dintr-o bază a lui V1. Dacă cele
două baze ar avea acelaşi număr de vectori, atunci baza din V1 este şi
43