2006(№1)

ное число. В качестве невязки h в классической теории обычно выбирается расстояние Хаусдорфа
h( A,
B ) , являющееся метрикой пространства компактных множеств H ( C ) [1]:
8
( )
{ x∈A y∈B
}
( )
( y∈B ) ( x∈A
)
h A, B = max sup inf x − y ; sup inf x − y , A,
B ∈ H C . (1)
Поиск параметров элементарных отображений
w l осуществляется через минимизацию
расстояния h( A,
B ) . Алгоритм минимизации (т. е. конструирования оптимального
коллажа из покрытий w ( M )) в общем случае не определен.
l
Результирующий коллаж ( ) W M должен состоять из уменьшенных копий исходного
фрактала. Поэтому каждое элементарное отображение w l должно быть сжимающим, т. е.
для всех элементарных отображений должно выполняться условие
( ) ( ) , 0 1
w x − w y ≤ s x − y ≤ s < .
l l l l
Величина s l представляет собой параметр сжатия для каждого
w l . Важным достоинством
аффинных отображений является постоянство параметра сжатия s l для любой
точки рассматриваемого пространства ( ) H C .
В работе [3] предложено применение подобного подхода к формализации моделей
биологических систем. Наряду с решением задачи синтеза формализованной модели показана
эффективность указанного подхода для сжатия экспериментальных данных [4]. Данные
работы [3] указывают на достигнутые значения невязки между исходным нерегулярным
самоподобным множеством и моделью, определяемой в соответствии с выражением
(1), свыше 10 %, что является критическим во многих задачах анализа и оптимизации технологических
и диагностических процессов.
Альтернативный подход к решению ОЗФМ, именуемый методом полиномиального
коллажа, заключается в аппроксимации фракталов множествами Жюлиа инверсных полиномов
[5]. Подобный подход наиболее актуален при решении задач идентификации и
функционального анализа в системах, аттракторы которых являются инвариантами нелинейных,
а не квазилинейных преобразований, в частности, в системах с глубоко нелинейной
обратной связью, модель которой хорошо описывается степенными многочленами.
Нелинейностями этого типа часто описываются процессы, происходящие в реальных физических
системах, при этом соответствующие фракталы носят название множеств Жюлиа.
В качестве целевой при решении ОЗФМ в данном случае выступает аппроксимирующая
исходный фрактал рекурсивная функция P ( z ) . Тогда F ( z) P ( z) p ( z)
,
−1
L
≈ =∪ ( )
Определим обратную функцию P ( z)
в виде полиномиального разложения порядка L
L
l=
1
l
z ∈ H C .
− 1 ( ) l
P z = ∑ C z . (2)
l
l=
0
Подобную аппроксимацию можно трактовать как разложение в ряд по степенному базису.
Задача заключается в нахождении оптимальных параметров l C разложения (2), обеспечивающих
наилучшую аппроксимацию исходного фрактала аттрактором отображения ( ) P z .