2006(№1)

Преимущество такого подхода заключается в возможности описания функции F частичной
суммой рядов Лорана или Тейлора, что, в свою очередь, позволяет провести сравнительный
анализ влияния различных компонентов ряда на те или иные особенности поведения
рассматриваемой физической системы.
Другим существенным преимуществом этого подхода является простота проведения над
F различных математических операций: дифференцирования, интегрирования и т. п. Это часто
бывает необходимо для нахождения особых точек модельной функции, выявления внутренних
областей притяжения (отталкивания) и прочих видов анализа свойств физических систем.
Простейшие модели, используемые при проведении классического статистического
анализа, часто неадекватно отражают топологию сложных множеств, описывающих анализируемые
физические процессы в пространстве измеряемых параметров, что является
основной причиной снижения точности подобного анализа. Можно показать, что если
множества, задаваемые совокупностью измеряемых параметров, не являются ортогональными,
с ростом числа параметров растет зависимость оценки расстояния между подмножествами
от способа задания метрики в анализируемом пространстве состояний системы.
В целях уменьшения указанного эффекта представляется целесообразным определять
невязку ( A, B) A,
B H ( C)
ε ∀ ∈ следующим образом [6]. Каждое из компактных подмножеств
A и B покрывают одинаковым количеством N T-мерных шаров равного радиуса
A n и
B n , где значение T определяется размерностью пространства представления. Через
( , )
d An
B n обозначают евклидово расстояние между центрами T-мерных шаров. n
A и
ставят в соответствие друг другу так, чтобы суммарное среднеквадратичное отклонение d
было минимальным. Тогда невязка ε есть функция вида
Очевидно, что функция ( A,
B)
N
1
N
n=
1
2
( A, B) lim d ( A , B )
ε = ∑ . (3)
N →∞
ε может принимать различные значения в зависимости
от того, каким образом выбраны пары
B n . Невязке ε соответствует такой порядок
соответствия покрытий
n
n
A n и
n
A n и
B n
B , при котором функция ( A,
B)
минимум. Показано [6], что ε является метрикой для пространства ( ) H C .
ε имеет глобальный
s
Если J ⊂ H ( C)
– заданное компактное множество, то и J ⊂ H ( C)
есть предельное
множество для итераций z P ( z )
k + 1
= , где k – номер итерации. Для решения задачи
k
необходимо найти коэффициенты разложения (2), минимизирующие невязку ( Js,
J p )
Непосредственное определение ( Js,
J p )
p
ε .
ε является весьма сложной задачей из-за
необходимости большого объема вычислительных затрат при расчете топологии
каждом промежуточном шаге процедуры минимизации. Можно показать, что, если
J p на
является аттрактором сжимающего отображения в H ( C,
ε ) , нахождение минимального
ε J , J эквивалентно поиску минимума функционала ε ⎡ ⎣ J , P ( J ) ⎤ ⎦ .
значения ( s p )
s
s
J p
9