2006(№1)

Можно показать, что любая ветвь
p l функции P ( z ) является сжимающим отображением
с переменным параметром сжатия q в области
Zc
⊂ C
, определенной неравенством
dp ( z) dz < 1, z ∈ Z . Условие сжимаемости одновременно для каждой ветви
l
c
функции P ( z) : С → С может быть записано как
dP( z) dz < 1. (4)
Доказано [6], что при выполнении условия (4) отображение P ( B) : ( , )
( , ), ( , )
Алгоритм поиска минимума ⎡J
, P ( J ) ⎤
→ H С ε ∀B ∈ H С ε также является сжимающим.
ε ⎣
s
s
H С ε →
⎦ и вычисления неизвестных параметров
итерационной функции P ( z ) достаточно прост в реализации и основан на том, что P ( z)
есть линейная функция относительно входящих в разложение (2) коэффициентов C l , а ε
представляет собой обычную меру среднеквадратичного отклонения, легко минимизируемую
методом наименьших квадратов [6]. Этот алгоритм состоит в следующем.
Для заданного компактного множества J ⊂ H ( C)
вводится начальное приближение
аппроксимирующего полинома P порядка L, определяемое начальными значениями коэффициентов
l
C . Далее находят P ( J )
P J N T-мерными шарами
с соответствующими центрами x n и
s
s
, после чего покрывают s
n
J и ( )
y . Вычисляют ⎡J
, P ( J )
ε ⎣
s
s
−1
s
⎤ ⎦ сопоставив x n и
−1
y n друг другу требуемым образом. Затем вычисляют значения P ( z)
1
. Поскольку P − является
конформным отображением, оно трансформирует бесконечно малые T-мерные шары
y n в бесконечно малые T-мерные шары xm
Для каждого T-мерного шара y n вводят локальное биективное отображение P n , обратное
−1
∈ . Таким образом, ( )
Js
P y = x .
1
P − . Это можно сделать, выбирая соответствующие ветви отображения P для каждого
конкретного значения n. Тогда уравнения, минимизирующие ⎡J
, P ( J )
⎤ ⎦ , запишутся
как ( ) ⎡ −1
( )
Pn xm, Cl′ = Pn P yn, Cl , C ⎤
⎣ l′
⎦ = xn
или
ε ⎣
n
s
m
s
L
l
∑ Cl′ xn
= xm
, (5)
l = 0
где через C′ l обозначен новый набор коэффициентов разложения (2). Для найденных коэффициентов
описанная процедура рекурсивно повторяется до тех пор, пока при решении
системы уравнений (5) параметр ε (3) уменьшается. В заключение проверяется состоятельность
полученного решения относительно условия (4).
В связи с высокой вычислительной сложностью рассмотренного математического аппарата
возникает необходимость разработки алгоритмов быстрого решения ОЗФМ. Модель
программы, реализующей итерационный алгоритм последовательного уточнения описания
исходного фрактального множества множествами Жюлиа инверсных полиномов, была реализована
в среде системного моделирования MLDesigner (рис. 1) 1 .
1 URL: http//www.mldesigner.com
10