Pogoni u robotici Pogoni u robotici - FER-a - Sveučilište u Zagrebu

Sveučilište u Zagrebu, Fakultet elektrotehnike i računarstva Osnove robotike 

Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Predavanja 

Pogoni u robotici 

• Planiranje trajektorije � generiranje reference 

(pozicije, brzine, ubrzanja) uz uvažavanje ograničenja 

svakog zgloba 

• Upravljanje zglobom ≡ upravljanje motorom u zglobu i 

radnim mehanizmom pričvršćenim na osovinu motora � 

upravljanje slijednim sustavom 

• Osnovne veličine s kojima se upravlja: položaj, brzina, 

moment (tj. struja), sila dodira 

• Mehanički prijenos (reduktor) � smanjuje brzinu zgloba, 

a povećava moment (konstantna snaga P=MΩ) 

• Iz dinamičkog modela znamo dinamička obilježja zgloba 

robota � promjenljivi moment inercije J i koeficijent 

viskoznog trenja B, prisutno je trenje i utjecaj sile teže 



Pogoni u robotici 

• Osnovni elementi pogona zgloba robota 

– Slijedni regulator (servo regulator) 

– Slijedno pojačalo (servo pojačalo snage) 

– Slijedni motor (servomotor) s radnim mehanizmom 

(člankom robota) 

– Mjerni član (enkoder, rezolver, rijeđe potenciometar i 

tahogenerator) 

1 

2



Vrste pogona u robotici 

• Pneumatski pogoni 

– Jeftini, najčešće se ugrađuju u translacijski zglob 

– Koriste se u uvjetima gdje može doći do eksplozije 

– Loša strana što zahtijevaju stalno održavanje i što pod 

djelovanjem tereta ne drže položaj (razlog je u stlačivosti 

zraka), razmjerno male snage 

• Hidraulički pogoni 

– Skuplji, najčešće se ugrađuju u translacijski zglob 

– Velike snage (manipulacija s težim predmetima) i dosta su 

brzi (brzina vrha alata oko 1m/s) 

– Loša strana je potreba za stalnim održavanjem i problemi 

s brtvljenjem (curenjem ulja), javlja se i buka 

• Električki pogoni 

– Dominantno u uporabi, odlične upravljačke karakteristike 



Električki pogoni u robotici 

• Istosmjerni motori s permanentnim magnetima 

– Pogodni su za upravljanje 

– Snage su reda veličine 100 W do 10 kW 

– Nominalna brzina vrtnje motora iznosi 1000 – 3000 min−1 , 

– Nedostatak je u kolektoru, koji određuje vijek trajanja i 

maksimalnu struju armature u prijelaznom procesu (2 

– 2.5 puta veća od nominalne vrijednosti) 

– Nominalno (maksimalno) ubrzanje motora i radnog 

mehanizma određeno je omjerom nominalnog 

(maksimalnog) momenta motora i momenta inercije 

motora i radnog mehanizma 

– Elektromehanička vremenska konstanta istosmjernih 

motora standardne izvedbe reda je veličine 15 – 150 ms, 

a nominalno ubrzanje iznosi (1 – 1.5)103 rad/s2 3 

4




• Istosmjerni motori specijalne izvedbe 

– imaju mnogo veće ubrzanje od strojeva standardne izvedbe, 

– smanjenje djelovanja kolektora (izvedbe s glatkim, tj. nenazubljenim 

rotorom) - poboljšava se hlađenje vodiča armature i smanjuje se 

induktivitet armature � poboljšana komutacijska svojstva - prijelazno 

strujno preopterećenje motora 8–10 puta veće od nominalnog 

• Dodatno povećanje brzine odziva motora s glatkim rotorom postiže 

se izvedbom izduženog rotora manjeg promjera � na taj se 

način postiže da motori s glatkim rotorom imaju za red veličine 

veće ubrzanje od motora standardne izvedbe. 

– smanjenje momenta inercije rotora - rotor kao šuplji cilindar ili disk od 

nemagnetskog materijala (namot armature obično štampan ili štancan), 

– zamjena kolektora (mehaničkog komutatora) elektroničkim 

komutatorom (elektronički komutirani, odnosno beskolektorski motori) 




• Sinkroni motori s permanentnim magnetima 

– Beskontaktni, odnosno elektronički komutirani istosmjerni motori � 

motor je bez kolektora, ima elektronički komutator i davač položaja 

rotora, koji generira signale za upravljanje elektroničkim komutatorom 

– ovisno o rasporedu namota armature statora, motori mogu imati 

trapezni (BLDC) ili sinusni (PMSM) oblik protuelektromotorne sile 

• Asinkroni motori 

– Imaju manje dimenzije i težinu, jeftiniji su od istosmjernih strojeva iste 

snage i jednostavniji za održavanje, 

– Upravljanje asinkronim motorima je složenije, pa su asinkroni pogoni 

nešto skuplji od istosmjernih pogona, 

– Metode upravljanja – vektorsko, neposredno upravljanje momentom. 

• Koračni motori 

– pogodni za neposredno digitalno upravljanje – velika brzina odziva i 

točnost pozicioniranja � moguć rad u otvorenoj i zatvorenoj petlji 

5 

6



Istosmjerni motori za primjenu u 

slijednim sustavima robota 

Matematički model za istosmjerni motor: 

U općem slučaju vrijedi za bilo koji zglob: 





M t 

7 

8





Može se zanemariti 

Aperiodski odziv brzine vrtnje 





Kombinacijom i preuređenjem prijenosnih funkcija na način da na jednu stranu dođu nezavisne 

varijable U a i M s , dobije se: 

Drugi član na lijevoj strani može se preurediti množeći brojnik i nazivnik s I a (K a =1/R a ): 

• Omjer viskoznog trenja BΩ prema razvijenom momentu KI a nije nikad veći od 0.1 

• Pad napona na otporu armature I a R a znatno je manji po iznosu od susjednog člana KΩ (tj. 

protuelektromotorne sile E) � zato je taj član za dodatni red veličine manji u odnosu na E, 

pa se može zanemariti u analizi dinamičkog ponašanja. 

• Ako se zanemareni član i uzme u obzir, rezultati analize dinamičkog ponašanja neće se 

bitno promijeniti, jer se u matematičkom smislu jedino vrijednost koeficijenta K malo 

povećava. 

9 

10





Ovo je najčešći oblik prijenosne funkcije istosmjernog servomotora u robotičkoj literaturi 



Elektronički komutirani istosmjerni 

motori u slijednim sustavima robota 

• U osnovnoj izvedbi ovaj motor proizvodi sinusoidalnu 

protuelektromotornu silu i zbog toga zahtijeva 

sinusoidalne struje statora da bi proizveo konstantan 

moment motora. 

• Rotirajući magnetski tok u zračnom rasporu 

sinkronog motora s permanentnim magnetima 

predstavlja osnovnu razliku u odnosu na stacionarni 

magnetski tok istosmjernog motora. 

• Permanentni magnet na rotoru osigurava konstantnu 

uzbudu, dok se u pogledu ostalog ovaj motor ne 

razlikuje od klasičnog sinkronog motora. 

• Transformacijom jednadžbi sinkronog stroja iz RST 

koordinatnog sustava u d, q koordinate sustava čvrsto 

vezanog za položaj rotora, sve impedancije sinusno 

ovisne o zakretu poprimaju oblik konstanti � najčešći 

oblik upravljanja – vektorsko upravljanje. 

q 

d 

11 

Vektor magnetskog toka Ψ m smješten 

je na d-osi, tj. u smjeru osi rotora. 

Komponenta struje statora i q koja 

razvija moment motora okomita je na 

tok Ψ m i položena je u smjeru q-osi. 

12





• Cilj vektorskog upravljanja je održavanje komponente statorske struje i d što bliže nuli, 

kako bi bio ispunjen uvjet za struju statora |i s | = i q . 

• Za vektorski upravljan elektronički komutirani motor poželjno je odrediti matematički 

model u d, q prostoru, a polaznu osnovu za to predstavlja klasični model sinkronog motora. 





• Prevođenje iz RST u d,q prostor pomoću Parkove transformacije: 

• Ako se statorske naponske jednadžbe izraze u d, q sustavu, koji je čvrsto vezan za položaj 

rotora, tada one poprimaju oblik: 

13 

približno ispunjeno zahvaljujući vektorskom upravljanju 

Uz uvjet da je i d =0, 

14





Uz uvjet da je i d =0, 

Primjenom Laplaceove transformacije: 



Prijenos pomoću reduktora 

Omjer mehaničkog prijenosa i mp definiran je kao omjer mehaničke brzine vrtnje 

motora ω m i brzine zgloba ω i : 

znatno smanjena ovisnost elektromehaničke vremenske konstante o položaju robota, 

15 

16



Načini upravljanja slijednim sustavima 

robotskih mehanizama 

Mogući oblik digitalnog sustava upravljanja robotskim mehanizmom: 





• Dominiraju kaskadni sustavi upravljanja 

• Dva osnovna pristupa: 

• Prvi se pristup sastoji u upravljanju varijablama zgloba pomoću podređene 

regulacijske petlje struje, odnosno momenta robotske ruke, pa se moment 

motora M m u tom slučaju uzima kao ulazna veličina u zglob. 

• U ovakvoj se strukturi čitava regulacijska petlja struje može predstaviti kao 

ekvivalentnim strujnim pojačalom, koje kao izlaz daje armaturnu struju. 

17 

18





• Dominiraju kaskadni sustavi upravljanja 

• Dva osnovna pristupa: 

• Drugi se pristup sastoji u upravljanju varijablama zgloba pomoću podređene 

regulacijske petlje brzine vrtnje pa se robotski zglob uzima kao uzrok 

promjene momenta tereta koji djeluje na osovinu motora 

• U ovakvoj se strukturi cijela petlja brzine vrtnje može predstaviti 

ekvivalentnim naponskim pojačalom, koje kao izlaz daje promjenljivi napon 

armature motora. 





• Prvi se pristup koristi kada izvršni dio ruke može doći u kontakt s drugim 

objektima koji sprečavaju gibanje duž koordinate, jer tada je podesno 

regulirati moment 

• Drugi se pristup koristi kada se robotska ruka može slobodno gibati duž 

neke koordinate (npr. roboti za bojenje), jer tada je prikladno regulirati brzinu 

gibanja. 

• Treba primijetiti da je moguće regulirati ili brzinu ili moment, ali ne i oboje 

zajedno. 

• Pri podređenom upravljanju brzinom vrtnje, izlaz iz mikroprocesorskog 

regulatora položaja proporcionalan je zadanoj brzini vrtnje, a u slučaju 

podređenog upravljanja momentom, zadanom momentu. 

• Tijekom analize dinamičkog ponašanja digitalnih slijednih sustava robotskih 

mehanizama koja slijedi efekti diskretizacije su zanemareni, jer se smatra da 

je frekvencija diskretizacije znatno manja od presječne frekvencije amplitudno 

frekvencijske karakteristike otvorenog kruga razmatranih sustava. 

19 

20



Primjeri iz prakse: Projektiranje surlastog robota 

Zahtjevi: 

• male dimenzije elemenata 

• veliki moment izlazne osovine 

• visoka preciznost pozicioniranja 

• mogućnosti lakog programiranja 

• standardni tip brze komunikacije 

(npr. CAN sabirnica) 

Karakteristike robota: 

• sastavljen od osnovnih robotskih modula s 2 SSG 

• mogućnost naknadnog dodavanja modula (npr. do 12 SSG) 

• opremanje robota s dodatnim senzorima (sonar, kamera, ispitne 

sonde) ili alatom (laserski nož, hvataljka) 



Odabrano rješenje nakon pretrage 

na Internetu 

21 

22



Upravljački uređaj Faulhaber MCDC 3003/06 C 

Karakteristike: Kaskada P regulatora pozicije, PI regulatora brzine 

vrtnje i PWM regulatora struje armature 



(Robot Kiwi) 

Karakteristike: Kaskada 

vanjskog regulatora pozicije, PI 

regulatora brzine vrtnje i PWM 

regulatora struje armature uz 

moguće konfiguriranje kaskade 

(pomoću DIP1 preklopke) 

Maxon 4-Q-DC Servoamplifier ADS 

23 

24



Aerotech A3200 Servo controller (robot Hrid) 

Karakteristike: Kaskada 

PI regulatora pozicije, PI 

regulatora brzine vrtnje i 

PWM regulatora struje 

armature uz moguće 

konfiguriranje kaskade te 

mogućnosti kompenzacije 

i predupravljanja 



Aerotech A3200 Servo controller (robot Hrid) 

Potpuno digitalizirani 

sustav upravljanja 

25 

26



Sinteza nominalnog slijednog regulatora 

• Zna se da parametri J u i B ovise o položaju, odnosno brzinama zglobova 

robota i da su stoga promjenljivi parametri čije vrijednosti su iz intervala 

[J umin , J umax ], odnosno [B min , B max ], 

• Za provođenje sinteze slijednog regulatora potrebno je odrediti granice 

intervala [J umin , J umax ] i [B min , B max ], te definirati nominalne vrijednosti 

parametara J un i B n za svaki robotski zglob � Podloga za određivanje 

nominalnih parametara slijednih regulatora pojedinih zglobova robota 

• Određivanje parametara � primjena postupaka identifikacije (npr. rekurzivna 

metoda najmanjih kvadrata - RLS) 

zglob1 

zglob2 

J umax J un J umin 



Rezultati identifikacije prvog zgloba 4-osnog 

SCARA robota Kiwi 

manji J, brži odziv - identifikacija u skladu s očekivanjima 

27 

28



Metode sinteze slijednih sustava 

• Sinteza sustava obuhvaća izbor strukture i parametara 

korekcijskih elemenata (regulatora) u svrhu postizanja 

zadanih pokazatelja kvalitete upravljanja 

• Osnovni elementi sustava (objekt upravljanja, izvršni uređaj, 

pojačalo i mjerni elementi) – odabrani prema tehničkim 

zahtjevima 

• Pretpostavka da su parametri svih osnovnih elemenata 

sustava stacionarni 

• Odabir linearnog regulatora 

– U regulacijskim petljama položaja dominantno se koristi 

P i PI regulator 

– U regulacijskim petljama brzine vrtnje dominantno se 

koristi PI regulator 

– U regulacijskim petljama armaturne struje dominantno 

se koristi PI regulator, PWM regulator i regulator s 

histerezom 




• Podešavanje parametara regulatora – djeluje se na pogrešku 

regulacije δ us i nadvišenje σ m. Ako se pri tom ne može 

ostvariti potrebna brzina odziva, uvode se unutarnje povratne 

veze, tj. primjenjuje se kaskadni sustav regulacije 

• U pogledu zahtijevane točnosti, općenito vrijedi δ us ↓ � K o ↑, 

ali povećanje K o može uzrokovati nestabilnost 

• Zato se postavlja dodatni zahtjev na korekcijski element � 

osiguranje amplitudnog i faznog osiguranja 

• Za sintezu parametara mogu se primijeniti direktne i 

indirektne metode 

29 

30




• Direktne metode: 

– analitičke metode – pogodne samo za analizu jednostavnijih 

sustava automatskog upravljanja, a sasvim nepogodne za 

sintezu sustava 

– metode simuliranja sustava na računalu – daju neposredan 

uvid u dinamičko ponašanje konkretne strukture i parametara 

sustava. Može se organizirati iterativni postupak optimiranja 

sustava, kojim se uz odabrani kriterij optimiranja dobiju 

parametri sustava 

• Indirektne metode: 

– frekvencijske metode – pokazale su se vrlo pogodnim za 

inženjersku primjenu 

– metoda mjesta korijena – dosta nepogodna za sintezu 

sustava višeg reda 

– integralne metode – za jednostavnije sustave gdje se zadani 

pokazatelji kvalitete nastoje postići minimiziranjem nekog 

integralnog kriterija (IAE, ITAE, ISE, ITSE) 



Frekvencijske metode sinteze PI regulatora 

• Tehnički optimum: 

– Određivanje integralne vremenske konstante T I – cilj je odrediti 

T I koja kompenzira najveću (dominantnu) vremensku 

konstantu u regulacijskom krugu 

– Određivanje koeficijenta pojačanja K R – cilj je za tako određeni 

T I odrediti K R s kojim se ostvaruje zadano fazno osiguranje 

• Simetrični optimum: 

– Primijenjuje se na astatičke sustave prvog reda – parametri PI 

regulatora određuju se tako da Bodeova frekvencijska 

karakteristika na presječnoj frekvenciji ω c ima nagib -1 te da 

su frekvencije loma lijevo i desno od ω c jednako udaljene 

(simetrične) od ω c � širina pojasa određuje fazno osiguranje 

– Izbor ω I = 1/T I – frekvencija loma lijevo od ω c 

– Izbor K R – određuje presječnu frekvenciju ω c 

• Pitanje: Mogu li se oba načina sinteze parametara PI regulatora 

primijeniti na pozicijske slijedne sustave? 

31 

32

Lo 

Lz 



Frekvencijske metode sinteze PI regulatora 

ωc 

Presječna 

frekvencija 

otvorenog 

regulacijskog 

sustava 

ωg 

Granična frekvencija 

zatvorenog 

regulacijskog 

sustava ω g =ω p 

LAFK 

otvoreni krug 

LAFK 

zavoreni krug 

-3 dB 

ω 

ω 

Pitanje: Kakvo je ponašanje pozicijskog slijednog 

sustava s PI regulatorom podešenim 

prema “tehničkom optimumu”? 

Odgovor: Nestabilno! 

Osnovno o frekvencijskim metodama sinteze: 

• Pogodno je za sintezu koristiti Bodeov prikaz 

(aproksimaciju s pravcima) frekvencijskih 

karakteristika otvorenog slijednog sustava 

• Osim željenog faznog osiguranja, neophodno je 

uspostaviti barem približnu vezu između 

frekvencijskih karakteristika otvorenog sustava i 

pokazatelja kvalitete prijelazne pojave 

zatvorenog sustava 

• Iz teorije je poznato da nagib i nivo logaritamske 

amplitudno-frekvencijske karakteristike na niskim 

frekvencijama određuje pogrešku u stacionarnom 

stanju, dok oblik te karakteristike na srednjim 

frekvencijama određuje dinamičko ponašanje 

sustava 



Frekvencijske metode sinteze - inženjerski pristup 

tipični slijedni sustav – primijetiti da je astatički (nagib -1 na 

niskim frekvencijama) 

• Nomogrami za tipične slijedne sustave - mogu se odrediti pokazatelji 

odziva na skokovitu promjenu reference (h m , ω c t m , ω c t p , ω p /ω c � A m , ω m ) 

• Vrlo često je ispunjeno 1≤ ω 3 /ω c ≤ 4 � normirano vrijeme maksimuma 

ω c t m ≈ 3 i malo se mijenja s L 1 i ω 3 � t m ≈ 3/ω c (može poslužiti za 

procjenu presječne frekvencije sustava iz vremena maksimuma). 

• Iz nomograma slijedi da je ω p (ω g ) ≈ ω c (vidi prethodnu sliku) 

33 

34



Frekvencijske metode sinteze – opće preporuke 

• Karakteristike nekorigiranog sustava L o (ω) i karakteristika korigiranog sustava L ok (ω) 

trebaju se podudarati u što je moguće većem rasponu frekvencija. U suprotnom, 

realizacija korekcijskog elementa postaje složena. 

• U području niskih frekvencija nagib karakteristika treba iznositi -r·20dB/dek 

ω=1 � L o (ω) = 20 log K o , iznos za r ovisi o zahtjevima na δ us , δ uk i δ ud 

• Nagib karakteristike na frekvenciji presjeka ω c poželjno je da iznosi -20dB/dek 

(postiže se potrebno fazno osiguranje). Širina pojasa s tim nagibom treba iznositi 2-4 

oktave (pokriva nadvišenja u području σ m = 0 – 30 %) 

Određivanje parametara serijskih korekcijskih elemenata: 

Lok ( ω) = Lo( ω) + Lk( 

ω) 

ϕ ( ω) = ϕ ( ω) + ϕ ( ω) 

ok o k 

• Karakteristika korekcijskog elementa: 

Lok ( ω) = Lok ( ω) −Lo( 

ω) 

ϕ ( ω) = ϕ ( ω) −ϕ 

( ω) 

k ok o 



Zadovoljavajuća korekcija često nije moguća samo promjenom pojačanja: 

• K o ↑ dva puta � pomak LAFK za 6 dB � promjena ω c � promjena F.O. i A.O. (tj. desi se 

određena promjena pokazatelja kvalitete) 

• U nekim slučajevima zadana kvaliteta postiže se serijskim korekcijskim elementom oblika 

(lead-lag kompenzator, skraćeno L-L) 

1+ 

τ Ts 1+ 

T1ks Gs () = Kk = Kk 

1+ Ts 1+ 

T s 

2k 

odnosno, 

G( s) 

= KC 

( s − z0 

) 

( s − p ) 

gdje je: p0 = 1/T, z0 = 1/τT, and KC = Kkτ. Određivanje parametara L-L korekcijskog elementa: 

• Kk se određuje iz zahtjeva na pogrešku u stacionarnom stanju 

• Ako treba smanjiti σm i tm , onda treba povećati F.O. (γ) i ωc � τ > 1, odnosno T1k >T2k , tj. 

kompenzator treba imati pozitivnu fazno-frekvencijsku karakteristiku (postaje element s 

faznim prethođenjem) 

• Pretpostavka: Kk = 1, T1k = 1 (ϕm – maksimalna vrijednost koju dostiže ϕk (ω)) 

τ = T 1k /T 2k 

ϕ m [ o ] 

10 

55 

• Približna procjena djelovanja DT 1 i PT 1 elemenata na fazu: ±45 o /dek, ±15 o /okt 

5 

42 

2 

19 

0 

35 

36



• U slučaju kad je τ > 1, iznos nule zo je manji od iznosa pola po . Zato L-L kompenzator 

pomiče krivulju mjesta korijena prema lijevoj poluravnini. To rezultira povećanim F.O. i 

bržim odzivom sustava. 

• U frekvencijskom području kompenzator dodaje pozitivnu fazu na području frekvencija 

1/τT do 1/T, odnosno 1/T1k do 1/T2k . Iz tablice je vidljivo da ovisno o parametru τ, 

maksimum dodane faze je u pravilu manji od 90o . Za veće vrijednosti potrebno je koristiti 

dva ili više kompenzatora. 

• Maksimalni iznos faze dodan je na središnjoj frekvenciji: 

1 

ω n = 

T τ 

• Maksimalni Iznos dodane faze može se izračunati iz vrijednosti parametra τ 

τ −1 

sin 

φ = 

τ + 1 

• Dodani pozitivni iznos faze povećava F.O. i tako povećava stabilnost sustava. L-L 

kompenzator s faznim prethođenjem projektira se određivanjem τ iz potrebnog iznosa 

faze da se zadovolje zahtjevi na F.O, te određivanjem T, odnosno T 2k , tako da se 

potrebna promjena faze doda na mjestu nove presječne frekvencije – može se koristiti 

prethodno spomenuta procjena ±45 o /dek, ±15 o /okt 

• Nedostatak korekcije uz τ > 1 je povećanje pojačanja na visokim frekvencijama (dakle, 

šuma i smetnji – pri skokovitoj promjeni ulazne veličine pojačanje za ω>> iznosi τ·K k (dok 

je K k za ω=0) 



• Ako je kvaliteta prijelazne pojave zadovoljavajuća (σ m , t m ), a potrebno je povećati 

točnost u stacionarnom stanju, onda se koristi L-L kompenzator s faznim zaostajanjem 

� τ < 1, odnosno T 2k >T 1k . S obzirom da je iznos nule z o veći od iznosa pola p o ,L-L 

kompenzator pomiče krivulju mjesta korijena udesno bliže ishodištu fazne ranine, što 

nije poželjno. Zato u pravilu z o i p o moraju biti smješteni tako da bi što manje mijenjali 

dinamiku sustava, a da bi se poboljšao odziv u stacionarnom stanju. 

• Na visokim frekvencijama L-L kompenzator s faznim zaostajanjem ima jedinično 

pojačanje, a na niskim frekvencijama pojačanje je iznosa z 0 /p 0 > 1, pa je time za toliko 

manja i pogreška u stacionarnom stanju. 

• Pretpostavka: K k = 1, T 1k = 1 (ϕ m – maksimalna vrijednost koju dostiže ϕ k (ω)) 

τ = T 1k /T 2k 

ϕ m [ o ] 

ok 

o 

1 

0.1 

-55 

2k 1k 

c 

0.2 

-42 

3 

0.5 

-19 

37 

38



• 

• 

• 

Primjena L-L na astatičke sustave – da se smanji kinetička pogreška δuk �Kok > Ko σm nepromijenjeno � γ nepromijenjeno 

tm nepromijenjeno � ωc nepromijenjeno 

1 

ω 1k 

= 

T1k 

ωc 

≤ 

10 

osigurava se da L-L ne djeluje na F.O. 

• Ako je r=0, a postoji uvjet δus = 0, tada korekcijski element mora sadržavati integralno 

ponašanje: 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1+ 

Ts I 

GR() s = Gk() s = Kk ⎜1+ ⎟= KR⎜1+ ⎟= 

KR 

⎝ Ts k ⎠ ⎝ Ts I ⎠ Ts I 

• Proporcionalna komponenta dodaje se zato da se isključi integralno djelovanje u 

području srednjih frekvencija (oko ω c ). 

• PI djelovanjem se uz isto γ, postiže veći ω c nego samo I djelovanjem � brži odziv uz 

isto nadvišenje (manji t m ) 

• Određivanje integralne vremenske konstante: 

– Statički (brzinski) slijedni sustavi r=0 � T I = T max � tehnički optimum 

– Astatički (pozicijski) r=1 � AFK simetrična oko ω c � simetrični optimum 



Povezivanje frekvencijske i vremenske domene 

• Ocjena pokazatelja kvalitete slijednih sustava, koji su u pravilu sustavi višeg reda, 

može se približno izvršiti na temelju ocjene pokazatelja kvalitete referentnog 

sustava drugog reda – ideja je uspostaviti vezu između nadvišenja σ m u odzivu 

zatvorenog kruga i faznog osiguranja γ kod frekv. karakteristika otvorenog kruga 

• Za referentni sustav drugog reda vrijede sljedeće relacije: 

– za Bodeov prikaz aproksimiran pravcima: 

[ ] 

o 

σm% + γ ⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ ≈63 

– za točan Bodeov prikaz: 

o 

σm[ % ] + γ ⎡ 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

≈70 

• Ove relacije mogu se koristiti za procjenu nadvišenja sustava drugog i višeg reda, 

odnosno za procjenu potrebnog faznog osiguranja, da bi odziv sustava imao 

zadano nadvišenje 

• Relacije za t m i σ m mogu se koristiti u postupku sinteze za određivanje 

frekvencijske karakteristike otvorenog sustava u području srednjih frekvencija 

prema pokazateljima kvalitete prijelazne pojave 

39 

40



Komentari na tehnički i simetrični optimum 

Zadane pokazatelje kvalitete želi se postići sintezom parametara PI regulatora K R i T I 

– slučaj upravljanja brzinom vrtnje, strujom armature – upravljanje 

statičkim sustavom koji ne sadrži niti jedan element s integralnim 

djelovanjem � otvoreni krug ima konačno pojačanje L(0) na niskim 

frekvencijama (nagib 0). Dodavanjem PI regulatora se želi to 

promijeniti (dodaje se integralno djelovanje i dodatna nula u otvoreni 

krug. 

– slučaj upravljanja položajem, silom dodira – upravljanje astatičkim 

sustavom koji sadrži jedan element s integralnim djelovanjem � 

otvoreni krug ima beskonačno pojačanje L(0) na niskim frekvencijama 

(nagib -1). Dodavanjem PI regulatora dodaje se još jedno integralno 

djelovanje i dodatna nula u otvoreni krug. 

U slučaju tehničkog optimuma kada je T I = T k =T max =T 1 , prijenosne funkcije 

nekorigiranog i korigiranog sustava 2. reda imaju oblik: 

K 

o 

ok 

G o( 

s) 

= 

Gok 

( s) 

= Gk 

( s) 

⋅Go 

( s) 

= 

Kok 

= 

( 1+ 

T1s)( 

1+ 

T2s) 

s( 

1+ 

T2s) 

Iako samo po sebi vidljivo, vrijedi istaknuti da je regulirani slijedni sustav statički 



Bodeov prikaz: 

20 log KR/TI 

20 log Ko 

20 log KR/TI 

L(ω) 

Lo 

ω=1 

Lk(ω) 

ω=1 

Lok 

-1 

ω1=1/T1 

ωI=1/TI 

-1 

ωc 

ωck 

20 log KR 

K 

ωck > ωc 

ω2=1/T2 

-2 

ω 

K RK 

T 

ω 

I 

o 

41 

42



• Ako je ω ck = ω 2 /2 � γ ≈ 60 o , pa nadvišenje iznosi σ m ≈ 64 - γ = 4% 

• Za sustav 2.reda � ξ = 0.707 (σ m = 4,3%) � Takav način projektiranja regulatora se 

u klasičnoj literaturi naziva projektiranje prema tehničkom optimumu 

• Tehnički optimum u proširenom smislu – pojačanje regulatora u skladu sa zadanim 

σ m , odnosno γ (relacija γ ≈ 63 – σ m ) 

• Postiže se presječna frekvencija ω ct (t mt ≈ 3.3/ω ct ) 

• Realni slijedni sustav n ≥3: 

• Projektiranje prema tehničkom optimumu: 

Ko 

Go() s = 

(1 + Ts 1 )(1 + Ts 2 )(1 + Ts 3 ) 

G () s = G () s G () s = 

K 

K 

K K 

= 

ok R o 

ok k o 

s(1 + Ts 2 )(1 + Ts 3 ) 

ok 

TI 




20 log KR/TI 

20 log Ko 

20 log KR/TI 

L(ω) 

Lo 

ω=1 

Lk(ω) 

ω=1 

Lok 

-1 

ω1=1/T1 

ωI=1/TI 

-1 

ωc 

ωck 

ωck > ωc 

20 log KR 

ω2 

-2 

ω3 

-3 

ω 

ω 

43 

44



• Za sustave višeg reda (n ≥3) � određivanje koeficijenta pojačanja regulatora 

(korekcijskog elementa) prema približnoj relaciji za određivanje γ iz zadanog 

nadvišenja σ m : 

γ[ o ] ≈ 58 - σ m 

• Također približna relacija za određivanje vremena maksimuma: 

t mt ≈ 2.9/ω ct 

• Sažetak: Projektiranje PI regulatora prema tehničkom optimumu može se 

primijeniti samo na statičke objekte upravljanja, jer astatičke sustave čini a priori 

nestabilnima (zbog dva integratora u otvorenom krugu faza na niskim 

frekvencijama kreće od -180 o ) 

Kako stoje stvari s određivanjem K R i T I prema simetričnom optimumu, kada se želi 

dobiti simetričnu LAFK oko ω c ? 

• Klasična definicija kaže da se ovaj optimum primjenjuje na astatički sustav prvog 

reda, tj. za r=1. Zašto za r=1? Zato, jer tehnički optimum nije primjenjiv, pa treba 

primijeniti neki drugi kriterij. 

• Zašto ne za r=2,3,..? Jasno, zbog problema nestabilnosti. 

• Za r=1 u otvorenom krugu su dva integratora pa treba izborom parametara K R i 

T I osigurati potrebnu stabilnost sustava, tj. potrebno F.O. na ω c . 



• Projektiranje prema simetričnom optimumu za astatički sustav (r=1): 

Ko 

Go() s = 

s(1 + Ts 1 ) 

Najjednostavniji slučaj – inače se na T1 gleda 

kao na dominantnu vremensku konstantu Tmax Kok (1 + Ts I ) 

Gok () s = Gk() s Go() s = 2 

s (1 + Ts) KRKo Kok 

= 

T 

• AFK korigiranog sustava je simetrična, ako su ω I =1/T I i ω 1 =1/T 1 jednako udaljene od 

ω c : 

ω ω 

= 

ω ω 

I cs = 

cs 

I 

• Širina područja nagiba (-1) iznosi: 

• Faza na frekvenciji ω cs iznosi: 

a 

ω T ω ω 

ω ω ω 

1 I 1 cs 

= = ⋅ = 

I T1 

cs I 

a 

2 

1 

o o 

1 

ϕ( ωcs ) =− 180 + arctgTIωcs− arctgT1ωcs =− 180 + arctga−arctg a 

I 

45 

46




20 log KR/TI 

20 log Ko 

20 log KR/TI 

L(ω) 

Lo 

ω=1 

Lk(ω) 

ω=1 

Lok 

-1 

-2 

-1 

ωc 

ωI=1/TI 

ωI=1/TI 

ωcs > ωc 

ωcs 

ω1=1/T1 

20 log KR 



1 

a - 

o 

180 ( ) arctg arctg arctg a − 

γ = + ϕ ωcs 

= a − = = arctg 

a 1 

1+ 

a ⋅ 

2a 

a 

• Fazno osiguranje iznosi: 

1+ sinγ 

a = 

cosγ 

• Približne vrijednosti γ i σ m u odnosu na razne vrijednosti koeficijenta a: 

a 

γ [ o ] 

σ m [%] 

• Približne relacije za γ i σ m (vrijede za a > 1): 

γ 

γ ≈15 a, odnosno a≈ 

15 

64 −σ 

m 

σm≈64 −γ ≈64 −15 a, odnosno a≈ 

15 

2 

30 

34 

-2 

2 

1 a 1 

3 

45 

19 

4 

60 

4 

ω 

ω 

47 

48



σ m [%] 

γ [ o ] 

a 

a 2 

10 

54 

3.6 

12.96 

U pravilu se kod sinteze PI regulatora prema simetričnom optimumu projektira 

sustav za nadvišenje veće od zadanog (σm > σmz ), npr. σm = k σmz , gdje je k=2, 3, 4, 

5, pri čemu vrijedi ograničenje σm ≤ 60%. Zadano nadvišenje ostvaruje se 

dodavanjem filtra na ulaz referentnog signala: 

1 

Gf() s = 

1+ 

Ts 

f 

20 

44 

2.93 

8.6 

30 

34 

2.26 

5.14 

Primjer: Neka je sustav projektiran za nadvišenje σ mω =30%. Za taj slučaj vrijede 

odnosi prikazani u tablici: 

σ mz [%] 

σ m /σ mz 

T f 

30 

1 

0 

20 

2/3 

t m /4 

10 

1/3 

t m /2 

5 

1/6 

2t m /3 



Pseudoderivativni regulator s predupravljanjem (PDFF) 

• PDFF regulator može zamijeniti standardne PI regulatore u slučajevima kad su 

parametri PI regulatora dobro podešeni u odnosu na smetnju, ali zahtijevaju dodatno 

nezavisno podešenje u odnosu na referencu. 

• Struktura PDFF regulatora s nazivima ulaza i izlaza sukladnim nazivima blokova za 

PLC: 

PV ( s) 

⎛ KP ⎞ 

OUT ( s) 

= = P ⋅ KP ⋅ SP( 

s) 

− KP ⋅ PV ( s) 

+ ( SP PV ) 

G ( s) 

⎜ 

TI s ⎟ − 

p 

⎝ ⎠ 

SP P⋅ KP 

OvisnooparametruP, struktura 

regulatora se mijenja i ima različit 

utjecaj na dinamičko ponašanje 

SP-PV 

KP 

TI s 

+ 

+ 

- 

OUT 

slijednog sustava 

Za P=1 � PI regulator 

PV KP 

⎛ K ⎞ R 

Go() s ⎜P⋅ KR 

+ ⎟ 

PV () s 

TIs Gz() s = = 

⎝ ⎠ 

SP() s ⎛ K ⎞ R 

1 + Go( s) ⎜KR + ⎟ 

⎝ TIs⎠ 49 

50



Treba primijetiti da podesivi parametar P ne utječe na polove zatvorenog sustava, ali 

zato utječe na nulu: 

⎛PTs ⋅ I + 1⎞ 

KR⋅Go() s ⎜ ⎟ 

PV () s 

TIs Gz() s = = 

⎝ ⎠ 

SP() s ⎛Ts I + 1⎞ 

1 + KR⋅Go( s) 

⎜ ⎟ 

⎝ TIs ⎠ 

Budući da parametar P utječe na slijedni sustav putem predupravljanja, on ne utječe 

na prijenosnu funkciju zatvorenog kruga s obzirom na smetnju. S druge strane, 

njegov utjecaj na nulu zatvorenog kruga neposredno utječe na dinamiku zatvorenog 

kruga u odnosu na referencu. To znači da PDFF regulator omogućava nezavisno 

podešavanje dinamike odziva slijednog sustava na promjenu reference. 

Kod praktične realizacije, isto kao kod PI regulatora, treba izvršiti provjeru izlaza u 

odnosu na postavljena ograničenja, te u slučaju ulaska i zadržavanja izlaza 

regulatora u limitu, potrebno je zaustaviti integriranje (anti-windup). 

Preporuka: Odrediti K R i T I kao za standardni PI regulator koristeći simetrični (za 

astatičke procese) ili tehnički optimum (za statičke procese), zatim mijenjati P dok se 

ne dobiju zadovoljavajući odzivi. 



Primjer: PDFF regulacija brzine vrtnje istosmjernog motora (Matlab+Simulink) 

regulator 

+ pojačalo 

snage 

Parametri određeni prema tehničkom optimumu: K R =5.8, T I =0.37 s 

Simulacijski eksperimenti: P=0; 0,25; 0.5; 0,75; 1. 

Promjena reference: ΔU r =0.65 V (ΔΩ=10 s -1 ) 

Promjena poremećajne veličine (momenta tereta): ΔM t =1 Nm 

51 

52



Promjena reference 

Promjena tereta 



Sustavi upravljanja zglobom robota uz 

upravljanje momentom 

• Kaskadna struktura s vanjskom petljom po položaju i unutarnjom petljom po 

struji (momentu) 

• Osnovni cilj upravljanja kretanjem robotske ruke predstavlja ostvarivanje 

potrebnog momenta u svakom zglobu da se pokrene manipulirani teret i da 

se pri tom svladaju svi momenti trenja, sile teže i dinamički momenti uslijed 

inercije, koji se suprotstavljaju gibanju. 

• Osnovna shema upravljanja sadrži P ili PD regulator položaja (vidi sliku) 

• PD regulator položaja se u praksi realizira kao paralelni rad P i D regulatora 

položaja, odnosno P regulatora položaja i P regulatora brzine 

strujna petlja 

53 

zanemareno je viskozno trenje 

54



Analiza statičkog i dinamičkog ponašanja 

• prijenosna funkcija zatvorene regulacijske petlje ima oblik: 

• gdje je: 

• Iz karakteristične jednadžbe 

• slijedi da je 

Koeficijent prigušenja ovisi o 

ukupnom momentu inercije J u , koji 

se mijenja s promjenom položaja 

robotske ruke kao i radnog tereta. 

Za dobro projektirani manipulator, 

J u se mijenja u odnosu 10 : 1. 



Analiza statičkog i dinamičkog ponašanja 

• Zbog promjenljivog J u postoji problem određivanja parametara 

nominalnog regulatora (vezanih uz nominalnu vrijednost J un ) 

• Obično se odabire da je J un = J sr 

• U literaturi se mogu pronaći preporuke da se za J u = J sr regulacijska 

petlja podesi na kritičnu vrijednost, tj. ξ =1. 

• Tada vrijedi: 

• Budući da je ξ sr = 1, koeficijent prigušenja za najmanji moment inercije 

(J sr /3) je ξ = 1.73, a za najveći (3J sr ) je ξ = 0.58. 

• Prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija za J sr označena je s ω no 

• Shodno tome, frekvencija neprigušenih oscilacija iznosi ω n = 1.73 ω no 

za najmanji, a ω n = 0.58 ω no za najveći moment inercije. 

• Manji moment inercije uzrokuje brži odziv iveći koeficijent prigušenja, 

a time i manje nadvišenje u odzivu. 

• Treba uočiti da uvijek postoji nadvišenje zbog D djelovanja regulatora 

55 

56



Odzivi slijednog sustava zgloba s nominalnim regulatorom položaja 

uz regulaciju momenta 

σ m=6% 



• Ovisnost promjene momenta motora o promjenama referentne 

vrijednosti položaja i momenta tereta može se izraziti sljedećom 

prijenosnom funkcijom: 

• Poremećajni moment M s sadrži dinamičke i statičke komponente 

� u stacionarnom stanju djeluju samo statičke komponente 

(prvenstveno moment sile teže M g), pa vrijedi M m=M g 

• Postojanje pogreške položaja u stacionarnom stanju (s=0) 

• Opisani nedostaci osnovne regulacijske petlje predstavljaju 

zapreku pri primjenama robota koje zahtijevaju preciznost 

pozicioniranja i čim bolja svojstva dinamičkog momenta motora. 

57 

58



Upravljačka petlja po momentu s 

kompenzacijskim proširenjem 

• Estimirana vrijednost momenta inercije uvedena je kao programirano pojačanje J ue. 

• Ovo pojačanje može se uvesti na način, kao što je prikazano na slici dolje, tj. 

neposredno iza PD regulatora, ili pak samo u bloku predupravljanja ubrzanjem (tj. 

kao J ues 2 ). 

• Estimirana vrijednost statičkog momenta ovisnog o djelovanju sile teže M ge kao 

dodatni korekcijski signal na izlazu regulatora. 

• Predupravljanje ubrzanjem, dodano sa svrhom da se poboljša točnost u dobivanju 

zadanog dinamičkog momenta M d. 





• Nakon uvođenja navedenih elemenata, jednadžba slijednog regulatora 

poprima oblik: 

• Jednadžba zatvorenog regulacijskog kruga položaja poprima oblik: 

• Iz karakteristične jednadžbe sustava može se odrediti koeficijent 

prigušenja i prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija: 

M d 

59 

60





• Uz uvjet (prikladan izbor vrijednosti pojačanja 

strujne petlje) 

• Jednadžba zatvorenog regulacijskog kruga položaja poprima 

oblik: 

• pogreška položaja u stacionarnom stanju pri jediničnoj 

skokovitoj promjeni referentne veličine ima oblik: 

• Uz uvjet da je M ge =M g i J ue =J u , slijedi da je razvijeni moment 

idealizirani slučaj koji 

realno nije ispunjen 





• Ako se definira omjer estimirane i stvarne vrijednosti c= J ue/J u, može se promatrati 

utjecaj odstupanja njegove realne vrijednosti (c≠1) na odziv položaja zgloba robota 

• Karakteristično je da pri skokovitoj promjeni reference Δθ odzivi položaja poprimaju 

u početku vrijednost θ(0) = cΔθ (to je tako jer u lineariziranom modelu derivativno 

djelovanje nema limita) � kad je stvarna vrijednost manja od estimirane javlja se 

nadvišenje koje može biti jako veliko (čak i u realnim uvjetima uz uvažavanje svih 

ograničenja u slijednom sustavu) 

• Postoji potreba za postupkom podešenja nominalnog slijednog regulatora koji će 

riješiti ili ublažiti problem mogućeg nadvišenja u odzivu položaja � predlaže se tzv. 

min-max postupak određivanja parametara slijednog regulatora K p i K d 

– Uz fiksno J ue � najbolje ponašanje uz J ue =J min (c≤1) 

– Minimalni koeficijent prigušenja ξ min dobije se uz J ue =J max 

– Ideja je da se postavi ξ min > 1 tako da su sve moguće vrijednosti prigušenja uvijek 

veće od 1 

– Da bi se ovaj postupak mogao primijeniti treba dobro poznavati (J min , J max ) 

61 

62



Robusno i adaptivno upravljanje položajem uz 

upravljanje po momentu 

• Nedostaci koncepta linearnih metoda upravljanja položajem uz 

upravljanje momentom 

– zbog ograničenih mogućnosti digitalnih računala nemoguće je 

eliminirati utjecaj poremećajne veličine M s (ne mogu se točno i 

pravovremeno estimirati sve komponente od M s) 

– traže se učinkovitiji algoritmi koji se zasnivaju na drugim načelima 

korekcije poremećajne veličine 

• Robusno upravljanje 

– Eliminacija pogreške nastale u sustavu uslijed djelovanja 

poremećajne veličine predstavlja osnovni cilj razrade robusnog 

algoritma upravljanja. 

• Adaptivno upravljanje 

– Uklanjanje razlika u kvaliteti odziva sustava nastalih zbog 

promjena parametara sustava predstavlja osnovni cilj kod razrade 

adaptivnog algoritma upravljanja. 




upravljanje po momentu – Hsia metoda 

• Dinamička analiza sustava upravljanja položajem uz upravljanje 

momentom uz korištenje istosmjernih motora 

• Promjene parametara zgloba robota 

• Zadatak je robusnog i adaptivnog algoritma upravljanja poništiti 

djelovanje veličine h, tj. bilo kakve promjene parametara ili bilo 

kakvog poremećaja, koji se javlja u sustavu ili djeluje izvana. 

63 

64





• Moguć način kompenzacije h je dodavanje korekcijskog signala na izlaz iz 

regulatora: 

v je dodatni korekcijski signal 

• Treba primijetiti da uvođenje dodatnog upravljačkog signala v podrazumijeva 

potpunu kompenzaciju djelovanja sile teže, što povlači za sobom ispuštanje 

potrebe za dodatnim signalom estimiranog momenta sile teže (tj. M ge = 0). 

• Stoga je nominalni slijedni regulator opisan sljedećom jednadžbom: 

• Slijedi da je f upravo onaj zakretni moment kojeg motor treba ostvariti da bi sustav 

zadržao zadano, tj. nominalno dinamičko ponašanje 





• Uz uvjet J ue=J u=J un slijedi da jednadžba signala razlike sustava ima 

oblik: 

Uz uvjet K pK=1 

• Slijedi da korekcijski signal v ima oblik: 

• Proračun dodatnog korekcijskog signala v može započeti sljedećim 

estimacijskim postupkom: 

On se zasniva na ideji da je v upravo ona korekcija 

koja osigurava nominalno dinamičko ponašanje 

65 

66





• Blokovska shema upravljanja 





• Robusnost upravljanja zasniva se na postojanju lokalne petlje 

beskonačnog pojačanja čiji ulaz i izlaz su ograničeni realnim 

ograničenjima slijednog sustava – ostvaren je uvjet za ostvarenje 

točnosti u stacionarnom stanju 

67 

68





Prikaz sheme robusnog upravljanja u obliku sheme adaptivnog upravljanja - signalna 

adaptacija 





Prikaz sheme robusnog upravljanja u obliku sheme adaptivnog upravljanja - 

parametarska adaptacija 

+ m s 

69 

oblik v isti je kao i kod signalne adaptacije, jer 

se zbog robusnosti m s može zanemariti 

70





Praktična realizacija Hsia regulatora 

– Limit izlaza iz regulatora (limit struje) 

– Realni derivator u adaptacijskom mehanizmu 

– Korištenje signala povratne veze brzine vrtnje 



Regulacijske petlje robotskih sustava CNC tipa 

• Blokovska shema slijednog sustava CNC tipa 

– Kaskadna regulacija s dvije regulacijske petlje brzine vrtnje 

– Vanjska petlja s integralnim regulatorom ili PI regulatorom 

– Unutarnja petlja s proporcionalnim regulatorom 

• Uz referentni signal brzine vrtnje šalje se i referentni signal 

položaja θ r upotrebom interpolatora iz CNC nadzornog računala. 

• U svakom intervalu diskretizacije uspoređuje se referentni signal 

položaja sa stvarnim položajem, koji je izražen s brojem impulsa 

iz inkrementalnog davača impulsa. 

• Kada su obje vrijednosti jednake, tada se zglob nalazi u zadanom 

položaju i zaustavlja se referentni signal brzine vrtnje. 

71 

72



Regulacijske petlje robotskih sustava CNC tipa 

• Generiranje reference brzine vrtnje 

• U t 1 razlika između zadanog i stvarnog 

položaja iznosi e (vidi sliku desno), a regulator 

ju otklanja u intervalu između trenutaka t 1 i t 2 

• Zadovoljavajuće ponašanje robotskih sustava 

CNC tipa dobije se za: 

• Vrijednost pojačanja K o podešava se za 

maksimalnu očekivanu vrijednost 

elektromehaničke vremenske konstante T m , 

koja ovisi o maksimalno očekivanom iznosu 

ukupnog momenta inercije J u . 

• Za manje vrijednosti ukupnog momenta 

inercije koeficijent prigušenja će poprimiti 

vrijednosti veće od 0.7. 

• Za male momente inercije koeficijenti 

prigušenja mogu značajno porasti � 

posljedica je veoma trom prijelazni proces i 

usporeni radni ciklus robota. 



Upravljanje silom dodira manipulatora 

• Kretanje manipulatora može biti bez ograničenja ili s ograničenjima 

• Primjeri ograničenog kretanja: 

– gibanje po površini stola (pisanje, brušenje, rezanje) 

– guranje i povlačenje pretinaca 

– različiti zadaci montaže (umetanje, zavrtanje) 

• Razlozi za uvođenje regulacije sile dodira: 

– Robotski poslovi (npr. proces brušenja) kod kojih upravljanje po trajektoriji gibanja 

nije dovoljno, jer se alat kojim se radi troši pa se nakon nekog vremena, ukoliko se 

upravlja samo po trajektoriji gibanja, izgubi kontakt između predmeta i alata, 

– Nepoznavanje karakteristika obrađivanog predmeta (npr. hrapavosti i oblika ruba 

brušenog predmeta). 

– Robotski poslovi za koje je trajektorija zadana uz pretpostavljeno poznavanje radne 

okoline robotskog sustava u bilo kojem trenutku gibanja, a kod kojih nepredviđene 

promjene u radnoj okolici mogu prouzročiti neplanirani kontakt robota s okolinom. 

– Ako postoji samo upravljanje po položaju, tada zbog realno postojećih pogrešaka u 

planiranju željene operacije te zbog konačne točnosti regulacijske petlje položaja, 

manipulator može udariti i oštetiti sebe ili elemente radne okoline � može se 

zaključiti da je u tim slučajevima sustav suviše krut (tj. nedovoljno podatan) – 

rješenje može biti dodavanje regulacijskog kruga sile dodira. 

73 

74

Podatn 



Pisanje po ploči Okretanje ručice 

x 

z 

y 

xc 

ωc 

zc 

yc 

Prirodna 

ograničenja 

vx = 

f y 

vz = 

ω x 

ω y 

τ z 

0 

= 0 

0 

= 0 

= 0 

= 0 



Umetanje klina u rupu 

xc 

zc 

yc 

Prirodna 

ograničenja 

vx = 

v y 

f z 

ω x 

ω y 

τ z 

0 

= 0 

= 0 

= 0 

= 0 

= 0 

Umjetna 

ograničenja 

f x 

= 0 

0 

z= v 

= 0 

= 0 

= 0 

vy = 

v d 

τ x 

τ y 

ω z 

Umjetna 

ograničenja 

f x 

v y 

f z 

τ x 

τ y 

ω d 

= 0 

= 0 

= 0 

= 0 

= 0 

z= ω 

75 

76




• Senzori sile (ugrađuju se u prihvatnice robotske ruke) 

– registriraju kontakt i iznos sile kontakta, nakon čega se ovisno o robotskom 

sustavu, donosi odluka o akciji � akcija može biti trenutno zaustavljanje 

gibanja robota ili isključenje upravljanja po trajektoriji gibanja i uključenje 

upravljanja po sili. 

• Podatnost kao mjera mekoće dodira 

– Pasivna podatnost - podrazumijeva se svojstvo samog manipulatora (npr. 

prihvatnica presvučena gumom), 

– Aktivna podatnost - podatnost koja se podržava programskom podrškom, tj. 

računalom. Prednosti aktivne podatnosti su mogućnost preprogramiranja i 

prilagođavanja raznim primjenama. 

• Dualnost upravljanja silom i upravljanja položajem 

– Ako su osigurani uvjeti slobodnog gibanja po svim osima � dovoljna je samo 

regulacija položaja. 

– Ako su uvjeti ograničenja prisutni po svim osima � jedino je moguća regulacija sile. 

– Između dviju krajnosti, kombinacijom istovremene regulacije položaja i sile, postiže 

se tražena podatnost manipulatora. 




Dva osnovna pristupa upravljanju 

sile dodira: 

• hibridno upravljanje položajem 

i silom dodira 

– upravljanje položajem, koje 

se odvija u vremenu kada 

gibanje nije ograničeno 

okolinom i upravljanje silom 

kada je gibanje ograničeno 

okolinom. Upravljanje 

položajem odvija se u 

tangencijalnoj ravnini, a 

upravljanje silom u ravnini 

okomitoj na sučeljenu 

površinu 

• upravljanje impedancijom 

manipulatora. 

77 

78



Upravljanje silom dodira robotskog mehanizma 

s jednim stupnjem slobode gibanja 

• Senzor sile dodira - montiran 

na mjestu korijena šake 

• U režimu slobodnog gibanja 

po svim osima, mehanizam je 

upravljan po položaju 

•Uslučaju dodira s okolinom, 

upravljan je po sili dodira 

• Zglob pogoni vektorski 

upravljan čoperski napajan 

elektronički komutirani motor 

• Kaskadna regulacija – P 

regulator položaja/sile, PI 

regulator brzine vrtnje i PWM 

regulator struje 



Model dodira manipulatora i radne okoline (1 stupanj 

slobode gibanja uz translacijsko gibanje vrha alata) 

79 

80



Model dodira manipulatora i radne okoline (1 stupanj 

slobode gibanja uz translacijsko gibanje vrha alata) 

Profil predmeta, tj. poremećajna veličina 



Matematički model regulacijske petlje sile dodira 

• Regulacijska petlja struje 

– Fazne struje statora reguliraju se pomoću regulatora s impulsno širinskom 

modulacijom faznih napona statora 

– Tipične vrijednosti frekvencije prekidanja čopera su u rasponu 5 − 20 kHz, 

čime se postiže gotovo trenutačno upravljanje strujom. 

– Zbog toga se zatvorena strujna petlja vektorski upravljanog sinkronog 

motora može opisati sljedećom prijenosnom funkcijom: 

• Regulacijska petlja brzine vrtnje 

– PI regulator brzine vrtnje: 

81 

82



• Blokovska shema regulacijska petlje brzine vrtnje 

• Prijenosna funkcija otvorene regulacijske petlje brzine vrtnje (bez regulatora) 

parametri svedeni na 

osovinu motora 



s 

83 

• Zadani su sljedeći pokazatelji kvalitete 

odziva regulacijske petlje brzine vrtnje: 

– σ m =20%, t m =15 ms 

• Sinteza parametara regulatora brzine 

vrtnje primjenom metode krivulje mjesta 

korijena: K R=15, T I=0.03 s 

• Pol u ishodištu i pol 1/T M vrlo su blizu 

jedan drugoga pa se uslijed odabranog 

mjerila teško razlikuju. Iz slike se može 

vidjeti da je utjecaj nule gotovo eliminiran 

vrlo bliskim polom, tako da je dinamika 

sustava određena dominantnim parom 

konjugirano kompleksnih polova. Preostali 

pol sustava nalazi se vrlo daleko od 

ishodišta i njegovo djelovanje je 

zanemarivo. Zanemaren je i utjecaj 1/T zi. 

84



Odziv signala povratne veze brzine vrtnje pri 

skokovitoj promjeni reference. 


odziva regulacijske petlje brzine vrtnje: 

– σ m =20%, t m =15 ms 

• Sinteza parametara regulatora brzine 

vrtnje primjenom metode krivulje mjesta 

korijena: K R=15, T I=0.03 s 

• Pol u ishodištu i pol 1/T M vrlo su blizu 

jedan drugoga pa se uslijed odabranog 

mjerila teško razlikuju. Iz slike se može 

vidjeti da je utjecaj nule gotovo eliminiran 

vrlo bliskim polom, tako da je dinamika 

sustava određena dominantnim parom 

konjugirano kompleksnih polova. Preostali 

pol sustava nalazi se vrlo daleko od 

ishodišta i njegovo djelovanje je 

zanemarivo. Zanemaren je i utjecaj 1/T zi. 



• Postupak sinteze P regulatora sile dodira 

85 

86



• Postupak sinteze P regulatora sile dodira 

• Blokovska shema otvorene regulacijske petlje sile dodira. 



• Prijenosna funkcija otvorene regulacijske petlje sile dodira uz K F = 1 (bez regulatora) 

• Prijenosna funkcija otvorene regulacijske petlje sile dodira nakon 

uvrštavanja prijenosnih funkcija G 1 do G 4: 

Astatički sustav tipa IT 6 

87 

88



Krivulja mjesta korijena regulacijske petlje sile 

dodira (gumena površina). 


odziva regulacijske petlje sile dodira: 

– σ m =25%, t m =50 ms 

• Sinteza parametara regulatora sile dodira 

primjenom metode krivulje mjesta 

korijena: K F=0.03 

• Polovi, koji su vrlo udaljeni od ishodišta, 

zanemareni su zbog neznatnog djelovanja 

na dinamičko ponašanje sustava. 



Odziv signala sile dodira pri skokovitoj promjeni 

reference (gumena površina). 

89 

Odziv signala povratne veze sile dodira pri skokovitoj 

promjeni reference (gumena površina). 

90



• Primjena metoda robusnog i adaptivnog upravljanja � adaptacija 

koeficijenta pojačanja regulatora sile K F 

Nestabilan odziv sile za isti K F =0.03 

pri promjeni površine (aluminij). 



Upravljanje silom dodira preko upravljanja 

impedancijom manipulatora 

• Impedancija je fizički sustav koji je u stanju prihvatiti ulaznu pobudu 

(nalog za gibanje) i odgovoriti s ostvarenim izlaznim učinkom (npr. 

silom). 

• Robotski manipulator ponaša se kao impedancija, a shodno tome, 

radna okolica djeluje kao admitancija, tj. posjeduje suprotna 

svojstva. 

• Impedancija robotskog manipulatora sastoji se od otpornosti 

(trenja), kapacitivnosti (elastičnosti) i inercije (mase), koji su 

određeni mehaničkom konstrukcijom manipulatora. 

• Parametri impedancije definiraju pasivnu podatnost manipulatora 

� npr. umetanjem gumenih dijelova u konstrukciju manipulatora 

mijenjat će se pasivna podatnost. 

• Upravljani robotski manipulator ponaša se kao aktivna impedancija 

� Kod upravljanja impedancijom robota parametri regulatora sile 

dodira podešavaju se tako da se uz zadanu konstrukciju robotskog 

manipulatora dobije željena podatnost. 

91 

92





Svrha upravljanja impedancijom je dobivanje 

dinamičkog odnosa između pozicije i sile, a ne 

upravljanja svakom od tih varijabli posebno: 

d 

Fa = K s ( xr 

− x) 

+ bs 

( xr 

− x) 

dt 

F a - sila kojom djeluje vrh alata na površinu predmeta, 

x - stvarna pozicija vrha alata, 

x r - željena pozicija vrha alata, 

K s - koeficijent krutosti alata, 

b s - koeficijent viskoznosti alata, 

x p - površina predmeta, 

K e - koeficijent krutosti predmeta. 

K s i b s se postavljaju programski 





Fp = K e ( x p − x) 

F p - sila koju predmet osjeća, 

K e - koeficijent krutosti predmeta (određuje se 

eksperimentalno), 

x p - površina predmeta, 

x - pozicija do koje je vrh alata prodro kroz predmet 

Položaj vrha alata koji prodire u predmet: 

x = x p + Δxa 

+ Δx 

Δxa 

Δx 

p 

p 

- promjena položaja alata prouzrokovana 

djelovanjem sile robota na predmet 

- promjena profila predmeta prouzrokovana 

djelovanjem sile robota na predmet 

93 

94





Δx 

a 

F 

= 

K s 

F 

Δx 

p = 

K e 

U stacionarnom stanju (kada je zadana sila 

postignuta) pozicija vrha alata se računa na 

sljedeći način: 

K s xr 

+ K e x p 

xs 

= 

K + K 

Fr 

x = 

K e 

+ 

s 

e 

Mi robotu zadajemo položaj vrha alata x r, a ona 

se dobiva na sljedeći način: 

K e K e 

K e + K s K e 

= x − x + x xr = x − x p 

K K 

K K 

xr p 

s s 



U stacionarnom stanju sila je stalna i željeni položaj vrha alata treba 

odrediti prema sljedećem izrazu: 

K + K 

x = ⋅ F + x = K F + x 

e s 

r 

Ke⋅Ks r p Σ r p 

Osnovni princip upravljanja impedancijom se svodi na pretpostavku 

da se površina okoline u trenutku dodira manipulatora elastično 

deformira � pod prepostavkom da je na raspolaganju senzor 

položaja dovoljne rezolucije može se mjeriti «prodor» u okolinu � 

na temelju tog pomaka uz poznavanje krutosti okoline K e zna se 

iznos sile kojom manipulator djeluje na okolinu. 

Upravljački zakon upravljanja impedancijom robota ima oblik: 

F Ks x Bs dt 

s 

x 

s 

p 

95 

0 x2≤xp dΔx ⎧⎪ 

= Δ + pri čemu vrijedi: F = ⎨ 

⎪⎩ 

K ( x − x ) x > x 

e 2 p 2 p 

96



Primjer: Upravljanje silom dodira troosnog planarnog 

manipulatora preko upravljanja impedancijom 





97 

98





Zakon upravljanja impedancijom robota ima oblik: 

dΔd F = KsΔ d + Bs dt 

F 

pri čemu vrijedi: 

⎧⎪ 0 d ≤ dp 

= ⎨ 

⎪⎩ 

Ke( d − dp) d > dp 



99 

100



Shema u Matlabu sustava upravljanja pozicijom, brzinom vrtnje i strujom 

armature za sva tri motora u zglobovima planarnog manipulatora 



Odziv sile dodira pri upravljanju impedancijom 

bs 

K s 

K e 

= 100 

= 10000 

101 

= 

6000N 

/ m 

102



Odziv sile dodira pri upravljanju impedancijom – veći K s 

bs 

= 100 

K = 100000 



Odziv sile dodira pri upravljanju impedancijom – veći b s 

s 

K e 

b s = 

K s 

= 6000N 

/ m 

500 

= 10000 

103 

K = 

6000 N / m 

e 

104



Odziv sile dodira pri upravljanju impedancijom – tvrđi predmet 

bs 

K s 

= 100 



= 10000 

K = 12000 N / m 

Odziv sile dodira pri upravljanju impedancijom – tvrđi predmet pomaknut za 1 mm 

e 

bs 

K s 

= 100 

= 10000 

105 

K = 

12000 N / m 

e 

106

Pogoni u robotici Pogoni u robotici - FER-a - Sveučilište u Zagrebu

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?