Folien

2.6 Beispiel (Forts.)
◮ Induktionsschritt n − 1 ❀ n:
◮ Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung:
Für Wörter w ′ der Länge n − 1 gilt:
|f ∗∗ (z, w ′ )| = 1 + |w ′ | = 1 + (n − 1) = n.
◮ Wort w habe Länge n ≥ 1, also
w = w ′ x mit |w ′ | = n − 1 und x ∈ X .
◮ Laut Def.: f ∗∗ (z, w ′ x) = f ∗∗ (z, w ′ )f (f ∗ (z, w ′ ), x). Folglich
◮ |f ∗∗ (z, w ′ x)| = |f ∗∗ (z, w ′ )f (f ∗ (z, w ′ ), x)|
= |f ∗∗ (z, w ′ )| + |f (f ∗ (z, w ′ ), x)|.
◮ Induktionsvoraussetzung: |f ∗∗ (z, w ′ )| = n.
◮ Außerdem: |f (f ∗ (z, w ′ ), x)| = |f (. . . , x)| = 1
◮ Insgesamt: |f ∗∗ (z, w ′ x)| = n + 1 wie behauptet.
Deterministische endliche Automaten 15/124