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$LaTeX, beamer, tikz und Co. - 6. Käschdle (engl. boxes)$

2.30 Beweisskizze (3) ◮ Als erstes überlegt man sich, wie die Sprachen L 0 ij aussehen: L 0 ij = {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}Z ∗ 0 {zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} = {w ∈ X ∗ | f ∗∗ (zi, w) ∈ {zi}{zj} ∨ (i = j ∧ w = ε)} = {x ∈ X | f (zi, x) = zj} ∪ {ε} falls i = j {} falls i = j ◮ Das sind endliche Mengen von Eingabesymbole (und evtl. ε), ◮ also durch reguläre Ausdrücke R 0 ij beschreibbar. ◮ Und für k > 0 gilt folgende Gleichung: Also ist dann L k ij = L k−1 ij R k ij = (R k−1 ij ∪ Lk−1 i,k−1 (Lk−1 k−1,k−1 )∗L k−1 k−1,j | (R k−1 i,k−1 (Rk−1 k−1,k−1 )* Rk−1 k−1,j )) und man kann ausgehend von den R0 ij sukzessive die R1 ij , die R2 ij , usw. bis zu den Rm ij konstruieren. Reguläre Ausdrücke 47/124
2.31 Warum so spartanisch? ◮ Frage: Warum nicht auch Symbole für die mengentheoretischen Operationen Durchschnitt und Komplementbildung in regulären Ausdrücken? ◮ Man könnte ja zum Beispiel Definition 2.22 um den Punkt ◮ Wenn R ein regulärer Ausdruck ist, dann auch (^R). erweitern und Definition 2.24 um ◮ Ist R ein regulärer Ausdruck, so ist 〈(^R)〉 = A ∗ 〈R〉. ◮ Antwort: Das ist überflüssig. Reguläre Ausdrücke 48/124
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Formale Sprachen und Automaten Kapi
Seite 3 und 4:
Deterministische endliche Automaten
Seite 5 und 6:
2.1 Beispiel: Parkplatz mit 5 Stell
Seite 7 und 8:
2.1 Beispiel: Parkplatz mit 5 Parkp
Seite 9 und 10:
2.2 Definition Ein endlicher Automa
Seite 11 und 12:
2.4 Definition Endlicher Automat mi
Seite 13 und 14:
2.5 (induktive Beweise) Beweis eine
Seite 15 und 16:
2.6 Beispiel (Forts.) ◮ Induktion
Seite 17 und 18:
2.9 Definition ◮ Ausgabealphabet
Seite 19 und 20:
2.10 Beispiel (Fortsetzung von 2.3)
Seite 21 und 22:
2.10 Beispiel (Fortsetzung von 2.3)
Seite 23 und 24:
2.13 Definition Von endlichem Akzep
Seite 25 und 26:
2.14 Beispiel Gesucht: endlicher Ak
Seite 27 und 28:
2.15 Beispiel Gesucht: endlicher Ak
Seite 29 und 30: 2.16 Grenzen endlicher Akzeptoren E
Seite 31 und 32: 2.17 Lemma Die formale Sprache L ={
Seite 33 und 34: 2.19 Beweis ◮ Beweis indirekt ◮
Seite 35 und 36: 2.19 Beweis (2) 1. Offensichtlich i
Seite 37 und 38: 2.19 Beweis (3) 2. Betrachte durchl
Seite 49 und 50: 2.19 Beweis (5) 3. Durchlaufe die S
Seite 63 und 64: Deterministische endliche Automaten
Seite 65 und 66: 2.21 Definition ◮ Alphabet A enth
Seite 67 und 68: 2.22 Beispiele • O/ • 0 • 1
Seite 69 und 70: 2.23 Definition Von regulärem Ausd
Seite 71 und 72: 2.25 Man kann eine formale Sprache
Seite 73 und 74: 2.27 Satz Für jede formale Sprache
Seite 75 und 76: 2.28 Definition Eine reguläre Spra
Seite 77 und 78: 2.30 Beweisskizze Nun ◮ M = (Z, z
Seite 79: 2.30 Beweisskizze (3) ◮ Als erste
Seite 83 und 84: 2.33 Beweis Benutze die Charakteris
Seite 85 und 86: 2.33 Beweis (2) ◮ Durchschnitt:
Seite 87 und 88: 2.34 Definition (erzeugende) Gramma
Seite 89 und 90: 2.36 Beispiel G = (N, T , S, P) mit
Seite 91 und 92: 2.38 Beispiel G = (N, T , S, P) mit
Seite 93 und 94: 2.39 Definition Es sei G = (N, T ,
Seite 95 und 96: 2.40 Beispiel (Fortsetzung) Was kan
Seite 97 und 98: 2.41 Definition Die von einer Gramm
Seite 99 und 100: 2.43 Beispiel Grammatik aus 2.37 Wa
Seite 101 und 102: Scharfes Hinsehen ergibt ◮ Auch d
Seite 105 und 106: 2.45 Definition Eine Typ-3-Grammati
Seite 107 und 108: 2.49 Lemma Wird eine formale Sprach
Seite 109 und 110: 2.50 Beweisskizze Es sei M = (Z, z0
Seite 115 und 116: 2.53 Beweisskizze O. B. d. A. seien
Seite 119 und 120: 2.56 Definition Für eine Menge Z b
Seite 121 und 122: 2.58 Definition Ein nichtdeterminis
Seite 123 und 124: 2.60 Interpretation (2) Beachte:
Seite 125 und 126: 2.61 Beispiel ◮ Z = {0, 1, 2} ◮
Seite 127 und 128: 2.65 Definition Von nichtdeterminis
Seite 129 und 130: 2.66 Beispiel ◮ N = ({0, 2, 5}, 0
Seite 131 und 132:
2.69 Beweisskizze ◮ Sei G = (N, T
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2.70 Lemma Zu jedem NEA N gibt es e
Seite 135 und 136:
2.71 Beweisskizze (Schritt 1) Für
Seite 137 und 138:
2.72 Beweisskizze (Schritt 2) ε
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2.72 Beweisskizze (Schritt 2): rich
Seite 141 und 142:
2.73 Zum Nachdenken ◮ Vergrößer
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2.74 Beweisskizze (Schritt 3) ◮ G
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2.76 Zusammenfassung ◮ Zu jedem D
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Ziel ein Algorithmus, der zu jedem
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2.78 Beobachtung ◮ Betrachte M =
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2.79 Lemma Es sei M = (Z, z0, X , f
Seite 153 und 154:
2.80 Beweisskizze ◮ Es sei f ∗
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2.81 Korollar ◮ Um zu prüfen, ob
Seite 165 und 166:
2.83 Überlegung ◮ Ein DEA kann s
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2.83 Überlegung (3) Beispiel: L =
Seite 169 und 170:
2.85 Beobachtung Es sei L reguläre
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2.86 Definition (2) ◮ Schreibweis
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2.88 Beispiel Bezeichne zwei natür
Seite 175 und 176:
2.89 eine lange Überlegung (2) Ans
Seite 177 und 178:
2.90 Algorithmus ◮ Gegeben DEA M
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2.90 Algorithmus (3) Definiere nun
Seite 181 und 182:
2.92 Beispiel Es sei der DEA M = ({
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