Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 14
• Die beiden Terme x 2 und x sind äquivalent über {0, 1}, nicht aber über D � {0, 1}.
Frage: Kann man äquivalente Terme als ,,gleich” bezeichnen?
• In semantischer Hinsicht JA, da es sich um die gleichen Wertzuweisungen (Funktionen)
handelt.
• In syntaktischer Hinsicht NEIN, da es sich um verschiedene Symbolfolgen handelt.
• In der Schulpraxis wird dieses Problem im allgemeinen ,,unter den” Teppich gekehrt. So
wird zwar der Begriff der ,,Äquivalenz” eingeführt, in der Folge aber werden beispielsweise
die beiden Terme in jeweils den Zeilen
p + q q + p
(a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2
durchaus als gleich bezeichnet.
2.4.10 Nachweis der Nicht–Äquivalenz
Beachte: Nicht–Äquivalenz liegt vor, wenn die beiden Terme bei Einsetzung irgend einer (einzigen)
Zahl aus der Grundmenge verschiedene Werte annehmen.
Eine Fehlvorstellung besteht hier darin, dass die Nicht–Äquivalenz durch Äquivalenzumformungen
(Begriff: Siehe unten) gezeigt werden muß.
Beispiele:
2x, G = N0
0 2 = 2 · 0
1 2
�= 2 · 1 =⇒ Nicht äquivalent
x 2
x 3 − 3x 2 + 2x + 5 2x 3 − 6x 2 + 4x + 5 G = Q
0 3 − 3 · 0 2 + 2 · 0 + 5 = 2 · 0 3 − 6 · 0 2 + 4 · 0 + 5
1 3 − 3 · 1 2 + 2 · 1 + 5 = 2 · 1 3 − 6 · 1 2 + 4 · 1 + 5
2 3 − 3 · 2 2 + 2 · 2 + 5 = 2 · 2 3 − 6 · 2 2 + 4 · 2 + 5
3 3 − 3 · 3 2 + 2 · 3 + 5 �= 2 · 3 3 − 6 · 3 2 + 4 · 3 + 5 =⇒ Nicht äquivalent
(x + 3) 2
x 2 + 6x + 9 G = N
(0 + 3) 2 = 0 2 + 6 · 0 + 9
(1 + 3) 2 = 1 2 + 6 · 1 + 9
(2 + 3) 2 = 2 2 + 6 · 2 + 9
.
.
(7 + 3) 2 = 7 2 + 6 · 7 + 9 =⇒ (Nicht–)Äquivalenz?