Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 44
6 Funktionen
Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus der
veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt ist.
Johann Bernoulli, (ch, 1667 – 1748, 1718).
Steht eine Variable y so in Beziehung zu einer Variablen x, dass zu jedem numerischen Wert
von x gemäß einer Vorschrift ein eindeutiger Wert von y gehört, so heißt y eine Funktion der
unabhängigen Variablen x.
P.G. Lejeune Dirichlet (dt, 1805 – 1859, 1837).
Diese beiden Definitionen von Funktionen sind geprägt von dem syntaktischen bzw. semantischen Aspekt.
Die zweite Definition ermöglicht einen viel größeren Spielraum bei der Definition von Funktionen, so ist
beispielsweise die nirgends–stetige Dirichlet–Funktion f : R → R erst so ,,definierbar”.
f(x) :=
� 1, falls x ∈ Q,
0, falls x ∈ R \ Q.
6.1 Mathematische Fundierung
Es seien A und B zwei Mengen.
1. Für a ∈ A und b ∈ B definiert man das geordnete Paar als die Menge
� �
(a, b) := {a, b}, a .
Das wesentliche an dieser Definition ist, dass die so gebildete Menge den folgenden unscheinbaren,
aber bedeutungsvollen Satz erfüllt:
Es gilt (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c und b = d.
Ist der auf der obigen ,,umständlichen” Definition basierende Satz akzeptiert, so kann diese wieder
in den Hintergrund treten.
2. Das Kartesische Produkt (René Descartes, fr, 1596 – 1650) der Mengen A und B ist die Menge der
geordneten Paare:
� �
�
�
A × B := (a, b) � a ∈ A, b ∈ B .
3. Eine Relation R zwischen A und B ist eine beliebige Teilmenge von A × B.
Gut kann man das mit Hilfe eines Liniendiagramms (Venn–Diagramms) veranschaulichen:
A
✉
✉
✉
✉
✉
.
.
✉
✉
.
✉
Zwischen einem Element a ∈ A und einem Element b ∈ B wird genau dann eine Linie gezogen,
wenn (a, b) ∈ R.
B
.