Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 8
Eine andere Möglichkeit, die Menge aller erlaubten Terme festzulegen, besteht in der Rekursiven
Definition. Sehr ungenau kann dies an dem folgenden Beispiel verdeutlicht werden:
1. Jede Zahl ist ein Term.
2. Jede Variable ist ein Term.
3. Sind T1 und T2 Terme, so sind auch Terme:
T1 + T2, T1 − T2, T1 · T2, T1/T2
4. Und so weiter . . .
In einem solchen rekursiv definierten Termsystem entsteht das Entscheidbarkeitsproblem: Kann
man von jedem vorgegebenen Term T entscheiden, ob er in endlich vielen Schritten gemäß der
Rekursionsregeln bildbar ist oder nicht. Kurt Gödel: Das Axiomensystem ,,unserer” Mathematik
ist unvollständig: Es gibt immer Terme, von denen nicht entschieden werden kann, ob sie bildbar
sind. Dieses Problem kann auch nicht durch Hinzunahme weiterer Regeln (Axiome) behoben
werden. (Dieses mathematische Grundlagenphänomen wird in dem Buch ,,Gödel, Escher, Bach”
von D.R. Hofstadter populär auseinandergesetzt.)
Die Syntax-Mathematik ist die Grundlage der Computer–Algebra–Systeme (CAS) wie DERIVE,
MAPLE, MATHEMATICA. Sie ist Bestandteil der Theoretischen Informatik.
2.3 Der Semantik–Zugang zum Termbegriff
Semantik bedeutet allgemein die Lehre von der inhaltlichen Bedeutung von Zeichen, Wörtern
und Sätzen in einer Sprache.
Beschreibung: Ein Term ist eine ,,Vorschrift”, mit deren Hilfe gegebenen Zahlen (INPUT) neue
Zahlen (OUTPUT) zugeordnet werden.
Hier wird schon der spätere Funktions– bzw. Operatorbegriff vorweggenommen. Dies geschieht
aber nicht in voller Ausschärfung (Betonung der Eindeutigkeit) und umfassender Begriffsumgebung
(Definitionsmenge, Wertemenge, Umkehrbarkeit, graphischer Darstellung).
2.4 Terme in der Schulpraxis
Hier geschieht ein ständiges unausgesprochenes Wechselspiel zwischen formaler (Syntax) und
inhaltlicher (Semantik) Auffassung.
Verblasst bei Schülern die Einsicht, dass Terme die Möglichkeit des Einsetzens von Zahlen in sich
bergen und daher der Umgang mit ihnen sich als natürlich–gesetzmäßig begründen läßt, so neigen
sie dazu, den Termkalkül als ein Gebäude von formal–positivistischen Gesetzen anzusehen, nach
dem sie — weil es halt so vorgeschrieben ist — verfahren müssen.