Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 28
9. Auf beiden Seiten wird der Kehrwert gebildet. Dabei ist ebenfalls das Relationszeichen umzukehren
(B: Parallelschaltung von Widerständen, Abbildungsgleichung).
• Dazu einige Bemerkungen:
– Nur die ersten sechs Typen von Äquivalenzumformungen sind schulrelevant.
– Bei den Äquivalenzumformungen 3 – 9 sollte immer der Aspekt
,,Auf beiden Seiten der Gleichung wird die gleiche Operation ausgeführt”
gegenüber dem ,,auf die andere Seite bringen” oder dem ,,Rüberbringen” herausgestellt werden.
– Beachte, dass der Sonderfall (Umkehrung des Relationszeichens) nur bei der Konstellation
auftritt.
Punktoperation, negative Zahl, Ungleichung
• Zur einführenden Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen bei Gleichungen dient das
Waagen–Modell.
– Man braucht mehrere gleiche Gegenstände der Masse (Gewicht) Z, die die Zahl 1 repräsentieren.
Beispiel: Doppelte Vierer–Duplo–Steine.
– Man braucht mehrere gleiche Gegenstände der Masse (Gewicht) V , die die Variable x repräsentieren.
Beispiel: Standard–Haushalts–Kerzen.
– Es sollte V — relativ genau — ein kleines ganzzahliges Vielfaches von Z sein. Eventuell kann
man das leichter erreichen, wenn man die Masse Z oder V manipulieren kann (Aufkleben von
Büroklammern, Einstechen von Reißnägeln).
– Gegenstände, die auf andere Weise (Mass–)Zahlen aufweisen (Gewichtsstücke, Münzen) sind
nicht so günstig, da sie von der Grundidee des Waage–Modells ablenken. Es wird dann mehr
Aufmerksamkeit der Frage gewidmet, welchen Wert oder welches Gewicht tatsächlich die
Gegenstände haben.
– Das Waagen–Modell hat Grenzen, da . . .
∗ beliebige negative, rationale oder reelle Zahlen
∗ Das Quadrat oder andere Potenzen von Variablen
∗ Die Multiplikation mit bzw. Division durch negative Zahlen
nicht gut repräsentiert werden können.
Auch zur Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen kann das Waage–
Modell herangezogen werden. Beachte aber:
– Die Waagschale der schwereren Seite ist unten. Das kollidiert mit der Vorstellung bei vertikaler
Anordnung eines Zahlenstrahls, dass größere Zahlen weiter oben stehen.
– Legt man auf die schwerere Seite beispielsweise zwei Einheiten, auf die leichtere eine Einheit,
so bleibt die Waagen–Situation bestehen. Dies könnte den Eindruck hervorrufen, dass eine
Äquivalenzumformung repräsentiert wird.
Das Waage–Modell sollte nur zur einführenden Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen
benutzt werden. Der kontinuierliche Einsatz, beispielsweise auch bei komplexeren Beispielen, führt
vom Lernziel ,,Fertigkeit und flexibler Umgang mit den Techniken der Äquivalenzumformung” weg.
• Gewinn- und Verlustumformungen werden nicht als Begriffe thematisiert, ihre Problematik aber
angerissen durch Eingrenzung der Grundmenge auf die Definitionsmenge, Probe, Fallunterscheidungen.
• Sinn der Probe allgemein:
– Verlebendigung einer formalen Prozedur, Einsicht in die Schlagkraft eines Algorithmus.
– Austesten von Lösungen bei Gewinnumformungen.
– Fehlertest.