Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 1
Alle Teilnehmer(innen) haben die Klausur vom 28.01.2008 bestanden.
Die Scheine werden am Dienstag, 15.04.2008, 12.00 im Physiksaal, KG I A204, ausgegeben.
Skript zur Vorlesung
Didaktik der Algebra
(Wintersemester 2007/08)
Dieses Geheft enthält in kompakter, manchmal nur stichpunktartig aufzählender Form, die wesentlichen
didaktischen, fachlichen, schulpraktischen Grundlagen, wie sie in der Vorlesung ,,Didaktik
der Algebra” vorgestellt werden.
Es ist zum Gebrauch neben der Vorlesung gedacht und erhebt nicht den Anspruch, ,,in sich
selbst verständlich” oder vollständig zu sein.
S. Hilger
Dieses Skript liegt in einer jeweils aktualisierten Form im Internet vor:
http://www.ku-eichstaett.de/Fakultaeten/MGF/Didaktiken/dphys/Lehre.de

S. Hilger, Didaktik der Algebra 2
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 5
1.1 Der Begriff Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Leitideen im Algebra–Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Terme 7
2.1 Historische und allgemein–didaktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Der Syntax–Zugang zum Termbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Der Semantik–Zugang zum Termbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Terme in der Schulpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Einstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.3 Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.4 Abkürzende Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.5 Auswerten von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.6 Auswerten von Termen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.7 Gliedern von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.8 Grund– und Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.9 Äquivalenz von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.10 Nachweis der Nicht–Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.11 Nachweis der Äquivalenz: Äquivalenzumformungen . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Vereinfachende Äquivalenzumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Der Term–Kurs in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 Produktterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2 Summenterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.3 Multiplikation von Summentermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.4 Faktorisierung von Summentermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.5 Typische Fehler beim Termrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Gleichungen und Ungleichungen 25
3.1 Historische Episoden, Klassische und moderne Auffassung . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Wandel der Begriffe von Gleichung und Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Klassische Auffassungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Reform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Heute: Pragmatismus in der Schulpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Gleichungen: Der Kurs in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

S. Hilger, Didaktik der Algebra 3
3.5 Gleichungen als Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.1 Typische Fehler bei Äquivalenzumformungen von Gleichungen . . . . . . 30
3.6 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1 Der Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.3 Lösungsverfahren anhand von Beispielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.4 Die Lösungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Die reellen Zahlen 35
4.1 Unvollständigkeit der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Intervallschachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Mathematische Grundlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Schulische Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Das Heron–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Potenzen 39
5.1 Von 2 3 bis π √ 3+2i : Erweiterungen der Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Kontextfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Schulpraktische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Funktionen 44
6.1 Mathematische Fundierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Schulische Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1 Der Funktionenfundus der Gymnasialmathematik . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2 Darstellung von Funktionen als Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Kontextfelder zur Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Sachrechnen 50
7.1 Mathematische Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2 Sachrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 Typen von Sachaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4 Simplexe und Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.5 Die Problemlösung im einzelnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5.1 Die Mathematisierung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5.2 Das mathematische Operieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.5.4 Mathematisierung von Sachsituatioen durch Gleichungen . . . . . . . . . 57

S. Hilger, Didaktik der Algebra 4
Literatur
[HS95] Horst Hischer and Harald Scheid. Grundbegriffe der Analysis. Texte zur Didaktik der
Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995.
[PDS95] Friedhelm Padberg, Rainer Dankwerts, and Martin Stein. Zahlbereiche. Spektrum
Hochschultaschenbücher. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995.
[Sch93] August Schmid, editor. Lambacher/Schweizer, Algebra Bayern 9. Ernst–Klett–
Schulbuchverlag, Stuttgart, 1993.
[Vol94] Hans-Joachim Vollrath. Algebra in der Sekundarstufe, volume 32 of Lehrbücher und
Monographien zur Didaktik der Mathematik. BI–Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig,
1994.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 5
1 Einführung
1.1 Der Begriff Algebra
• Das Wort Algebra entlehnt sich dem Titel einer Abhandlung des Arabers Abu Abdallah
Muhammed ibn Musa al–Hwarizmi al–Magusi Über quadratische Gleichungen: al–gabr.
(Aus dem Namen al–Hwarizmi entstand das Wort Algorithmus).
• Die obige Schrift wurde ins Lateinische übersetzt und prägte die mitteleuropäische Mathematik.
Hier bezeichnete Algebra im wesentlichen die Lehre von den Gleichungen.
• Nach heutigem wissenschaftlich–mathematischen Verständnis umfasst Algebra das Teilgebiet
der Mathematik, in dem die inneren Strukturen, die Verknüpfungen, auf einer Menge
untersucht werden. Begriffsbildungen in der Algebra sind Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume,
Moduln,. . .
• Schulisch: Hier wird Algebra als Gegenüber von Geometrie aufgefasst, sie umfasst das
Umgehen mit Zahlen, Termen und Gleichungen. (Im wissenschaftlich–fachlichen Sinne ist
dies eigentlich die Arithmetik).
1.2 Leitideen im Algebra–Unterricht
Der Algebra–Unterricht folgt dem Ineinandergreifen vier grundlegender Leitideen:
Zahl — Term — Gleichung — Funktion.
Diese Begriffe bilden eine Art Grundgerüst aus vier Strängen, um die die Schul–Algebra sich
,,spiralig” entwickelt. Die Begriffe werden immer wieder neu — bei zunehmender Abstraktion
und Komplexität — zum Inhalt des Algebra–Unterrichts.
In dieser Vorlesung werden wir diese vier Begriffe unter verschiedenen Aspekten aufgreifen. Der
fachliche Hintergrund, die fachdidaktische Theorie, lerntheoretische Einsichten, die Wechselwirkung
mit der Schulpraxis, bilden dabei den Rahmen.
• Grundlegende Überlegungen zu den Zahlbereich(serweiterung)en finden sich in MUG.
Zur Erinnerung:
– Ein Mangel im vorhandenen Zahlbereich führt auf das Bestreben, ihn zu erweitern.
Dabei sollten bestehende Rechen- und Ordnungsstrukturen möglichst beibehalten
werden (Hankel’sches Permanenzprinzip).
– Zahlschreibweisen, Eigenschaften, Besonderheiten,
– Rechenstrukturen (Gesetze, Vorteile),
– Ordnungsstrukturen,
– Geometrische Darstellung (Zahlenstrahl, Gauß’sche Ebene),
– Rechenfertigkeit auf verschiedenen Ebenen: Kopfrechnen, Schriftliches Rechnen, Taschenrechner,
Numerisches Rechnen mit Hilfe des Computers.
In dieser Vorlesung werden wir uns nur mit dem Übergang Q → R auseinandersetzen.
• Weitere mathematische Konzepte sind

S. Hilger, Didaktik der Algebra 6
– Mengenlehre: Sie ist heute nicht mehr eigener Inhalt. Sie wird dort verwendet, wo ihr
Gehalt und ihre Begriffe nützlich sind.
– Aussageformen, Aussagen.
– Relationen.
Ihre Anteils–Gewichtung und inhaltliche Bedeutung wandelten sich im Laufe der letzten
Jahrzehnte:
– 60/70er Jahre: Sie standen im Rahmen der ,,New Maths” Reformströmungen fast im
Mittelpunkt des Mathematikunterrichts.
– 80er Jahre: Sie bildeten eigenständige Inhalte.
– 90er Jahre: Sie werden als notwendige Hilfskonzepte bzw. zweckmäßige Sprechweisen
aufgefasst.
– seit etwa 2000: In den (bayerischen) Lehrplänen (zumindest Gymnasium) sind diese
Konzepte kaum mehr ausgewiesen. Sie müssen ,,auf Zuruf”, unterschwellig, in den
Unterricht eingebracht werden.
• Fundamentale mathematische Denk- und Arbeitsweisen wie
– Abstrahieren, Konkretisieren, Formalisieren,
– Axiomatisieren, exaktes logisches Schließen, Beweisen, Argumentieren
– Mathematisieren, Anwenden,
– Veranschaulichen.
sollen im Rahmen der obigen Inhalte und Leitideen ,,mittransportiert” werden.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 7
2 Terme
2.1 Historische und allgemein–didaktische Aspekte
Ich kann kaum mit Zahlen rechnen, wie soll ich dann mit Buchstaben umgehen?
Das Rechnen mit Termen weist gegenüber dem Rechnen mit Zahlen einen qualitativ höheren
Abstraktheitsgrad auf. Aufgrunddessen ist es einerseits schwieriger, andererseits aber auch sehr
,,erfolgreich”.
• Baupläne, Flußdiagramme.
• ,,Termgeometrie”.
2.2 Der Syntax–Zugang zum Termbegriff
Syntax ist allgemein die Lehre von den Regeln, die das Zusammenstellen und Manipulieren von
Zeichen und Wörtern in einer Sprache beschreiben.
Ein Term ist (lediglich) eine Folge von Symbolen.
Die mathematische Ausgestaltung dieses Aspekts geschieht — grob beschrieben — wie folgt:
1. Vorgegeben ist ein Alphabet, das ist eine beliebige Menge A, deren Elemente in diesem
Zusammenhang Symbole, Buchstaben oder Zeichen heißen. Zum Beispiel ist dies
�
A = 0, 1, . . . , 9, a, b, . . . , z, A, B, . . . , Z,
α, β, . . . , ω, +, −, ·, :, /, , √
�
, ↑, =, (, ), [, ], {, }, ⊔
Das letzte Zeichen ⊔ nennen wir Leerstelle.
2. Ein Term (fachmathematisch: Wort) ist eine Abbildung T : N → A mit T (n) = ⊔ für fast
alle n ∈ N.
3. Die ,,Syntax” legt fest, dass nur eine Teilmenge der Menge aller Terme als erlaubt gilt.
4. Der Kalkül legt Regeln fest, welche Terme äquivalent sind. Beispiel: Ein Paar den Term
einschließende Klammern kann entfernt werden
oder
(a + b) ∼ a + b
(a + b) ↑ 2 ∼ a ↑ 2 + 2 · a · b + b ↑ 2
5. Optional kann noch eine Quasi–Ordnung (antisymmetrische und transitive Relation) ,,ist
einfacher als” auf der Menge aller Terme durch Regeln festgelegt werden:
T1 ist einfacher als T2
Ziel des Manipulierens von Termen ist dann die Vereinfachung, das heißt das Auffinden
eines möglichst einfachen äquivalenten Terms zu einem vorgegebenen Term.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 8
Eine andere Möglichkeit, die Menge aller erlaubten Terme festzulegen, besteht in der Rekursiven
Definition. Sehr ungenau kann dies an dem folgenden Beispiel verdeutlicht werden:
1. Jede Zahl ist ein Term.
2. Jede Variable ist ein Term.
3. Sind T1 und T2 Terme, so sind auch Terme:
T1 + T2, T1 − T2, T1 · T2, T1/T2
4. Und so weiter . . .
In einem solchen rekursiv definierten Termsystem entsteht das Entscheidbarkeitsproblem: Kann
man von jedem vorgegebenen Term T entscheiden, ob er in endlich vielen Schritten gemäß der
Rekursionsregeln bildbar ist oder nicht. Kurt Gödel: Das Axiomensystem ,,unserer” Mathematik
ist unvollständig: Es gibt immer Terme, von denen nicht entschieden werden kann, ob sie bildbar
sind. Dieses Problem kann auch nicht durch Hinzunahme weiterer Regeln (Axiome) behoben
werden. (Dieses mathematische Grundlagenphänomen wird in dem Buch ,,Gödel, Escher, Bach”
von D.R. Hofstadter populär auseinandergesetzt.)
Die Syntax-Mathematik ist die Grundlage der Computer–Algebra–Systeme (CAS) wie DERIVE,
MAPLE, MATHEMATICA. Sie ist Bestandteil der Theoretischen Informatik.
2.3 Der Semantik–Zugang zum Termbegriff
Semantik bedeutet allgemein die Lehre von der inhaltlichen Bedeutung von Zeichen, Wörtern
und Sätzen in einer Sprache.
Beschreibung: Ein Term ist eine ,,Vorschrift”, mit deren Hilfe gegebenen Zahlen (INPUT) neue
Zahlen (OUTPUT) zugeordnet werden.
Hier wird schon der spätere Funktions– bzw. Operatorbegriff vorweggenommen. Dies geschieht
aber nicht in voller Ausschärfung (Betonung der Eindeutigkeit) und umfassender Begriffsumgebung
(Definitionsmenge, Wertemenge, Umkehrbarkeit, graphischer Darstellung).
2.4 Terme in der Schulpraxis
Hier geschieht ein ständiges unausgesprochenes Wechselspiel zwischen formaler (Syntax) und
inhaltlicher (Semantik) Auffassung.
Verblasst bei Schülern die Einsicht, dass Terme die Möglichkeit des Einsetzens von Zahlen in sich
bergen und daher der Umgang mit ihnen sich als natürlich–gesetzmäßig begründen läßt, so neigen
sie dazu, den Termkalkül als ein Gebäude von formal–positivistischen Gesetzen anzusehen, nach
dem sie — weil es halt so vorgeschrieben ist — verfahren müssen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 9
2.4.1 Einstieg
Ganz allgemein läßt sich ein Einstieg beispielsweise — unter dem Semantik–Aspekt — über ein
Sachwelt–Beispiel zur Zusammensetzung
Gesamtkosten = Fixkosten + Variable Kosten
herstellen. Beispiele sind:
• Was kostet eine Nintendo– (bzw. Gameboy–)Ausstattung mit 2, 3, 4, . . . , x Spielen?
• Telefonrechnung oder Stromrechnung: Grundgebühr plus Kosten für die Einheiten. (heute
veraltet wegen Tarifgewirr)
• Kartenhaus.
Diese Beispiele führen auf einen vergleichsweise einfachen linearen (fachlich: affinen) Term a·x+b.
In der Folge sind einige Begriffe genauer zu klären oder zu erläutern.
2.4.2 Variable
Symbole wie �, △, ?, x, y, z, a, b, c, . . ., an deren Stelle (rationale bzw. reelle) Zahlen eingesetzt
werden können, heißen in der Mathematik Variable (in der Grundschule: Platzhalter).
Die Mathematikdidaktik der 70er Jahre bemühte sich intensiv um eine genauere Klärung des
Begriffs der Variablen. Dieses Bestreben produzierte eine Vielfalt an unterschiedlichsten Spezialfällen,
es trat weniger ein klärendes, mehr ein verwirrendes System an unterschiedlichsten
Begriffen, in Erscheinung.
2.4.3 Terme
Rechenausdrücke, in denen
• Zahlen und/oder Variable
• einzeln oder durch Rechenzeichen verknüpft
auftreten, heißen in der Mathematik Terme.
Beispiele:
Hinweise:
25 a 3 + 24 · x 26a 4 + 26x 3
a 2 + b 2 − c 2
• Rechenzeichen sind auch Klammern, Bruchstriche, Hochstellen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 10
• Der Malpunkt zwischen Zahl und Variable oder zwischen Variable und Variable kann
weggelassen werden. Dies entspricht dem Sprachgebrauch ,,Zwei Semmeln” anstelle von
,,Zwei mal Semmel”.
Ein Konflikt entsteht hinsichtlich der Angabe von Größen in gemischten Einheiten
(3 m25 cm = 3 m + 25 cm und nicht 3 m25 cm = 3 m · 25 cm) oder gemischten Zahlen
(3 2 2
2 2
5 = 3 + 5 und nicht 3 5 = 3 · 5 ).
• Konvention: Potenz vor Punkt vor Strich (Po vor Pu vor S).
• Klammern: Gewöhnlich werden in der Reihenfolge von innen nach außen runde, eckige
und geschweifte Klammern benutzt. Dies ist als Hilfestellung, nicht als unumstößliche
Regel anzusehen.
2.4.4 Abkürzende Schreibweise
Für Terme gibt es eine abkürzende Schreibweise der Form
T ( ), gesprochen: T von . . .
In die Lücke zwischen den Klammern werden die Variablen eingetragen.
• Die einzelnen Variablen werden durch Semikola voneinander getrennt, da in der Schule das
Komma der Dezimalbruch–Darstellung von Zahlen vorbehalten ist.
• Verschiedene Terme können durch Indizes (tiefgestellte Zahlen) gekennzeichnet werden.
• Beachte, dass alle Variable, die in einem Term auftreten, in der Klammerliste enthalten
sein müssen.
• Die Variablen in der Klammerliste werden — per Konvention — im allgemeinen alphabetisch
angeordnet. Fachlich ist dies ohne Bedeutung.
• Auch die Variablennamen sind eigentlich ohne Bedeutung, die Terme T3 und T7 sollten
von vornherein als gleich angesehen werden.
Diese Idee liegt auch der Definition von Funktionen oder Prozeduren beim Programmieren
(B: PACSAL, C) zugrunde. Für die Weiterverwendung der Funktion oder Prozedur im
Programm oder das Kompilieren ist der Variablenname ohne jede Bedeutung.
Beispiele sind:
T1(x) = x2 − 25 T5(a; b) = a2 − b2 T2(�) = 1
�−2
T6(x; �; f) = x� − f
T3(a) = 2 · a − 3
5 + 28a T7(x) = 2 · x − 3
5 + 28x
� �2 � �2 x
x
T4(x) = 10 (Bremsweg) T8(x) = 10 + 3 · x
10
(Anhalteweg)

S. Hilger, Didaktik der Algebra 11
2.4.5 Auswerten von Termen
Unter dem Auswerten eines Terms versteht man, dass anstelle der Variablen Zahlen eingesetzt
werden (alternative Sprechweise: die Variablen mit Zahlen belegt) werden. Dabei nimmt der Term
einen Wert an.
Beispiele:
T1(2) = 2 2 − 25 = 4 − 25 = −21 T1(− 1
) = (−1
2 2 )2 − 25 = −24 3
4
1
T2(−4) = = −1
−4 − 2 6
T3( 5 5 3 5
) = 2 · − + 28 6 = . . .
6 6 5
�
20
�2 T4(20) =
10
�
100
T8(100) =
10
= 4 T4(40) =
� 2
+ 3 · 100
10
= 130
�
40
�2 = 16
10
Übungsaufgaben bestehen darin, dass Tabellen mit den Termwerten angelegt werden. Das Eintragen
von Kreuzen in ein Koordinatensystem oder gar das Erstellen von Graphen würde den
Charakter von Termen als ,,Wertzuweiser” zu sehr verschleiern. Dies sollte später im Kontext
des Funktionsbegriffs erfolgen.
2.4.6 Auswerten von Termen mit mehreren Variablen
Anhand der obigen Beispiele:
T2(−4) =
1
= −1
−4 − 2 6
T5(13; 5) = 13 2 − 5 2 = 144
T6(2; 3; 12) = 2 3 − 12 = −4
Treten in einem Term . . .
• verschiedene Variable auf, so dürfen sie mit verschiedenen oder gleichen Zahlen belegt
werden.
• dieselben Variablen (mehrmals) auf, so müssen sie mit derselben Zahl belegt werden.
In dem Term–Kurs wird ständig zwischen den Ebenen
Eine Variable — mehrere Variable
gewechselt, ohne dass dies extra deutlich gemacht würde.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 12
2.4.7 Gliedern von Termen
Hier tritt wieder der Syntax–Aspekt des Termbegriffs stärker hervor.
• Fachwörter — Text — Termbaum
• Einstieg: Es soll ein Term beschrieben werden, ohne dass dabei Rechenzeichen genannt
werden.
• Merke: Bei der Termgliederung muß genau in der umgekehrten Reihenfolge vorgegangen
werden wie bei der Auswertung nach einer Variablenbelegung.
• Idee der Unterklammerung.
2.4.8 Grund– und Definitionsmenge
Diese Begriffe werden definiert für den Fall von Termen mit beliebig vielen Variablen, in Beispielen
wird diese Definition dann aber nur für Terme mit einer Variable umgesetzt.
Die Menge, deren Elemente für die Einsetzung anstelle einer Variablen vorgesehen sind, heißt
Grundmenge G des Terms.
Wenn nicht anders vereinbart, ist G = Q, ab der 9. JGS. G = R.
Die Menge der Elemente aus der Grundmenge, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen
(oder: sinnvoll eingesetzt werden können), heißt Definitionsmenge D des Terms.
Die Unterscheidung zwischen Grund- und Definitionsmenge ist dann sinnvoll, wenn Divisionen
von (Teil–)Termen auftreten. Der Divisor–Teilterm darf nicht den Wert Null annehmen.
Im Kontext der Bemühung, das — vermeintlich (?) — überzogene Begriffssystem der Schulmathematik
zu verschlanken, gibt es den Ansatz, einen der beiden Begriffe ganz zu vermeiden und
die Problematik der nicht–zulässigen Einsetzungen da zu behandeln, wo man ihr begegnet.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 13
2.4.9 Äquivalenz von Termen
Beispiel: Ein quadratisches Grundstück soll eingezäunt werden. Auf jeder Seite sollen n Pfähle
mit immer gleichem Abstand stehen. Wie viele Pfähle müssen eingepflockt werden?
✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉
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✉
✉
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✉
n = 7
✉
✉
✉
✉
✉
✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉
� � � � � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� n = 11 �
�
�
�
�
�
�
� � � � � � � � � � �
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
♣
♣
♣
♣
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♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
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♣
♣
n = 16 ♣
♣
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♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
Lösung: Je nach Mathematisierung dieses Sachverhalts stößt man auf ,,verschiedene” Terme:
• T1(n) = n + (n − 1) + (n − 1) + (n − 2)
• T2(n) = n + n + (n − 2) + (n − 2)
• T3(n) = 2 · n + 2 · (n − 2)
• T4(n) = 4 · (n − 1)
• T5(n) = n 2 − (n − 2) 2
Die Grundmenge ist jeweils G = {2; 3; 4; . . .}. Wir werten die Terme für verschiedene n aus: (Man
könnte zunächst auf die Idee kommen, dass T i nur Quadratzahlen als Werte annimmt)
Term n = 2 n = 5 n = 10 n = 63
T1(n) = n + (n − 1) + (n − 1) + (n − 2) 4 16 36 248
T2(n) = n + n + (n − 2) + (n − 2) 4 16 36 248
T3(n) = 2 · n + 2 · (n − 2) 4 16 36 248
T4(n) = 4 · (n − 1) 4 16 36 248
T5(n) = n 2 − (n − 2) 2 4 16 36 248
Die Tabelle deutet darauf hin, dass bei der Belegung von n mit natürlichen Zahlen jeweils der
gleiche Wert angenommen wird.
Zwei Terme T1(x) und T2(x) mit gemeinsamer Definitionsmenge D heißen äquivalent (über
D), wenn sie bei allen Belegungen der Variablen mit Zahlen aus D jeweils den gleichen Wert
annehmen.
Man schreibt dann:
T1(x) = T2(x), x ∈ D.
Beachte, dass die Angabe der Definitionsmenge D weggelassen werden kann, wenn der Kontext
klar ist.
Beispiele:
• Die beiden Terme (x + 3) 2 und x 2 + 6x + 9 sind äquivalent über R.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 14
• Die beiden Terme x 2 und x sind äquivalent über {0, 1}, nicht aber über D � {0, 1}.
Frage: Kann man äquivalente Terme als ,,gleich” bezeichnen?
• In semantischer Hinsicht JA, da es sich um die gleichen Wertzuweisungen (Funktionen)
handelt.
• In syntaktischer Hinsicht NEIN, da es sich um verschiedene Symbolfolgen handelt.
• In der Schulpraxis wird dieses Problem im allgemeinen ,,unter den” Teppich gekehrt. So
wird zwar der Begriff der ,,Äquivalenz” eingeführt, in der Folge aber werden beispielsweise
die beiden Terme in jeweils den Zeilen
p + q q + p
(a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2
durchaus als gleich bezeichnet.
2.4.10 Nachweis der Nicht–Äquivalenz
Beachte: Nicht–Äquivalenz liegt vor, wenn die beiden Terme bei Einsetzung irgend einer (einzigen)
Zahl aus der Grundmenge verschiedene Werte annehmen.
Eine Fehlvorstellung besteht hier darin, dass die Nicht–Äquivalenz durch Äquivalenzumformungen
(Begriff: Siehe unten) gezeigt werden muß.
Beispiele:
2x, G = N0
0 2 = 2 · 0
1 2
�= 2 · 1 =⇒ Nicht äquivalent
x 2
x 3 − 3x 2 + 2x + 5 2x 3 − 6x 2 + 4x + 5 G = Q
0 3 − 3 · 0 2 + 2 · 0 + 5 = 2 · 0 3 − 6 · 0 2 + 4 · 0 + 5
1 3 − 3 · 1 2 + 2 · 1 + 5 = 2 · 1 3 − 6 · 1 2 + 4 · 1 + 5
2 3 − 3 · 2 2 + 2 · 2 + 5 = 2 · 2 3 − 6 · 2 2 + 4 · 2 + 5
3 3 − 3 · 3 2 + 2 · 3 + 5 �= 2 · 3 3 − 6 · 3 2 + 4 · 3 + 5 =⇒ Nicht äquivalent
(x + 3) 2
x 2 + 6x + 9 G = N
(0 + 3) 2 = 0 2 + 6 · 0 + 9
(1 + 3) 2 = 1 2 + 6 · 1 + 9
(2 + 3) 2 = 2 2 + 6 · 2 + 9
.
.
(7 + 3) 2 = 7 2 + 6 · 7 + 9 =⇒ (Nicht–)Äquivalenz?

S. Hilger, Didaktik der Algebra 15
2.4.11 Nachweis der Äquivalenz: Äquivalenzumformungen
Zum Nachweis der Äquivalenz von zwei Termen müßte man gemäß Definition alle Elemente der
Definitionsmenge ,,durchtesten”. Dies ist bei unendlichen Definitionsmengen (B: Q) unmöglich.
Dieses Problem wird nun — mathematisch wenig einwandfrei — wieder durch Rückgriff auf den
Syntax–Aspekt ,,gelöst”, man definiert:
Wird ein Term T1 durch Anwendung von gültigen Rechengesetzen in einen Term T2(x) umgeformt,
so spricht man von einer Äquivalenzumformung.
Bei dem Begriff ,,gültige Rechengesetze” nimmt man Bezug auf die in der bisherigen Schul–
Mathematik erworbenen zum Teil intuitiv vorhandenen Auffassungen davon.
Ein (nicht für die SchülerInnen gedachtes) illustratives Beispiel besteht in den beiden Termen
artanh x und
1
2
1 + x
ln , D = ] − 1, 1[.
1 − x
Die beiden Terme sind äquivalent, es läßt sich aber nicht ohne weiteres eine (elementare) Äquivalenzumformung
angeben.
2.5 Vereinfachende Äquivalenzumformungen
Das Programm (Ziel) des Schul–Term–Kurses besteht dann darin, einen gegebenen Term durch
Äquivalenzumformung in eine möglichst ,,einfache” oder ,,zweckmäßige” Form zu bringen. Der
Begriff ,,zweckmäßig” bezieht sich darauf, dass der Begriff ,,einfach”, und damit das Ziel einer
Äquivalenzumformung, im allgemeinen nicht eindeutig ist. Beispiele:
• Ein Term soll in Summenform oder in Produktform gewandelt werden.
• Ein quadratischer Term soll in Summenform oder in Scheitelform dargestellt werden.
• Bei der Berechnung des Rechteck–Umfangs ist der Term 2a + 2b ,,einfacher”, weil er den
Sachkontext durchschaubar wiedergibt. Bei der Auswertung ist der äquivalente Term 2 ·
(a + b) ,,einfacher”, da jetzt statt drei ,,Grundrechnungen” nur zwei durchzuführen sind.
Außerdem entfällt die Speicherung eines Zwischenergebnisses.
• Das letzte Beispiel zeigt den allgemeinen Sachverhalt auf, dass — je nach Kontext — ein
Term in Summenform oder in Produktform als ,,einfacher” angesehen werden kann.
Es erfolgt ein ständiges Wechselspiel von Einsicht (Hinter den Variablen stehen Zahlen) und
Einschleifen (Korrekte Anwendung der syntaktisch aufgefaßten Formeln).

S. Hilger, Didaktik der Algebra 16
2.6 Der Term–Kurs in der Schule
Wir schildern hier den — auch gemäß Lehrplan — ablaufenden Term–Kurs. Das folgende ist ein
Königsbeispiel für den technisch–methodischen Begriff des ,,kleinschrittigen Erarbeitens”.
2.6.1 Produktterme
a) Ein Term heißt Produktterm, wenn er ein Produkt aus Vorzeichenfaktoren, Zahlen und Potenzen
von Variablen ist.
Beispiele:
43x 2 · y
− 4
3 ab · a2 xw
−2, 5 · x 3 yz 4 · 6x 5
p 6 q 8 = p · p · p · p · p · p
� �� �
6 Faktoren
· q · q · q · q · q · q · q · q
� �� �
8 Faktoren
Die herausgehobene Separierung bzgl. Faktortypen ist hilfreich.
b) Man kann Produktterme vereinfachen, indem man . . .
• Vorzeichen
• Zahlfaktoren und
• Variablenpotenzen mit gleicher Basis
unter Anwendung des Kommutativ– und des Assoziativgesetzes zusammenfasst und dann evtl.
die Variablenpotenzen alphabetisch ordnet.
Es entsteht ein ,,Einfacher Produktterm” mit einem Vorzeichen, einem Zahlfaktor und jeweils
einer Potenz für jede Variable.
Beispiele:
5a 2 b · (−4)ab 3 = 5 · (−4) · a 2 a bb 3 = −20a 3 b 4
3 1
· x ·
4 2 · b2 · 1
3 · a · b · 3 · x3 = 3 1 1
· ·
4 2 3 · a · b2 · b · x · x 3 = 1
8 · a · b3 · x 4 .
g 5 : g 3 = g 2
4x 3 · 5y 2 : (−3) = 4x 3 · 5y 2 · 1
−3
Die letzten beiden Beispiele zeigen, dass Produktterme auch Divisionszeichen enthalten können,
die dann mit Hilfe der Kehrbruchidee beseitigt werden können.
Bei der Multiplikation von Variablen beachte, dass
a n · a m = a n+m , da (a · a · . . . a)
· (a · a · . . . a)
= a · a · . . . a
� �� �
n Faktoren
� �� �
m Faktoren
� �� �
n+m Faktoren
Beachte, dass ein häufig auftretender Fehler darin besteht, dass — beispielsweise —
a 2 · a 3 = a 6
berechnet wird. Ursachen dafür sind . . .

S. Hilger, Didaktik der Algebra 17
• das Verblassen einer lebendigen Vorstellung von der Definition der Potenz, Es wird nur
noch formal gerechnet.
• das simple Übertragen der Multiplikation im Term auf den Exponenten,
• die Verwechslung (Fehler durch Nähe) mit der Potenzregel (siehe unten).
c) Produktterme werden multipliziert, indem man die Vorzeichenfaktoren, Zahlen und Variablen
jeweils getrennt multipliziert und das entstehende Produkt dann vereinfacht.
d) Potenzierung von Produkttermen: Ein Produktterm wird potenziert, indem man jeden Faktor
einzeln (mit dem Exponenten) potenziert.
(Veranschaulichung durch Würfelvolumen: Kantenlänge x → 2x).
Beachte, dass für die Potenzierung von Potenzen gilt:
(a n ) m = a n·m
da (a � · a �� · . . . a�
) · . . . · (a � · a �� · . . . a�
)
�
n Faktoren
��
m Faktoren
n Faktoren
�
= a · a · . . . a
� �� �
n·m Faktoren
Im Zusammenhang mit dem Assoziativgesetz der Multiplikation und ihrer Umkehroperation
ergibt sich eine Zweideutikgeit. Wie soll der Term
15a 3 : 5a 2
vereinfacht werden?
• Die optisch–satztechnische Anordnung spricht dafür, dass die Klammern als
(15a 3 ) : (5a 2 )
gesetzt sind.
• Würde man jedoch in dem obigen Term zusätzlich Mal–Punkte setzen
15 · a 3 : 5 · a 2 ,
so tritt die Konvention ,,Von Links nach Rechts” stärker hervor. Der Term würde auch
bei der Verarbeitung durch ein Computerprogramm oder — nach Einsetzen einer Zahl —
durch einen Taschenrechner so interpretiert werden.
2.6.2 Summenterme
Ein Term heißt Summenterm, wenn er als verallgemeinerte Summe von Produkttermen geschrieben
ist. ,,Verallgemeinert” heißt hier, dass Additionen und Subtraktionen auftreten können
(Früherer Ausdruck: Aggregat). Die einzelnen Summanden und Subtrahenden heißen in diesem
Zusammenhang auch Glieder.
Zwei (einfache) Produktterme heißen gleichartig, wenn sie als Faktoren die gleichen Variablenpotenzen,
aber eventuell verschiedene Zahlfaktoren oder verschiedene Vorzeichen haben.
5rs 2 t − 18rs 2 t rts 2
2r · 5s · t · (−3s)

S. Hilger, Didaktik der Algebra 18
Gleichartige Produktterme in einem Summenterm können mit Hilfe des Distributivgesetzes zusammengefaßt
werden.
5rs 2 t − 18rs 2 t + rts 2 + 2r · 5s · t · (−3s) =
5rs 2 t − 18rs 2 t + rs 2 t + (−30)rs 2 t =
−42rs 2 t.
Summenterme werden vereinfacht, indem man
• zunächst die Produktterme vereinfacht (und ordnet) und dann
• gleichartige Produktterme zusammenfaßt.
2.6.3 Multiplikation von Summentermen
Das Distributivgesetz
Das Distributivgesetz sollte bereits aus den ,,Zahlbereichen” bekannt sein.
a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c für alle a, b, c ∈ Q.
Neu ist jetzt, dass anstelle der Zahlen und Variablen auch beliebige Teilterme stehen können.
Das Einsetzen von Termen anstelle von Variablen in bekannten Formeln ist eine wesentliche
Grundfertigkeit des Termrechnens an sich und sollte bereits hier — im vergleichbar elementaren
Kontext — gut geübt werden.
e · (f + g) = e · f + e · g
b · (a + c) = ba + bc = ab + bc
2a 2 x · (3ax + 5x 3 ) = 6a 3 x 2 + 10a 2 x 4
Einen Sonderfall nimmt die Multiplikation eines Summemterms mit −1 ein. Dies sollte extra
thematisiert — und nicht als ,,klarer Spezialfall” abgehandelt — werden.
Bei Multiplikation eines Summenterms mit −1 ändern sich die Vorzeichen der einzelnen
Glieder.
Die Grundformel
Frau Taube sagt zu ihrem Mann:
Ich habe heute unser Blumenbeet um 3 m verlängert und 2 m verbreitert. Kannst Du
mir bitte Pflanzen dafür mitbringen?
Herr Taube bringt für 6 m 2 Pflanzen mit!
b
2 m
a 3 m

S. Hilger, Didaktik der Algebra 19
Die neue Fläche ergibt sich also zu:
(a + 3 m) · (b + 2 m) = a · b + a · 2 m + 3 m · b + 6 m 2 .
Kann man dies auch durch Ä–Umformungen nachrechnen?
(a + b) · (c + d) = (a + b) · s
� �� �
s
DG
= a · s + b · s
a · (c + d) + b · (c + d) DG
= a · c + a · d + b · c + b · d.
Merke (Grundformel): Für beliebige Zahlen aus Q gilt:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.
Das Ausmultiplizieren — allgemein
Die Grundformel kann verallgemeinert werden auf
• mehrgliedrige Summentermen als Faktoren und/oder
• mehr als zwei Faktoren.
Merke: Man multipliziert zwei Summenterme, indem man jedes Glied aus dem ersten Summenterm
mit jedem Glied aus dem zweiten Summenterm (unter Berücksichtigung der Vorzeichen)
multipliziert und diese Produkte dann addiert.
Bei mehr als zwei Faktoren werden nacheinander immer jeweils zwei Faktoren multipliziert.
Die Plus–Formel
Sie heißt auch 1. binomische Formel. Der Zugang erfolgt beispielsweise über den Flächenvergleich
in einem Quadrat
a
b
a
b
Rechnerisch erhält man das durch Zurückführen auf die Grundformel.
(a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Es müssen also die Quadrate der Summanden und das doppelte gemischte Glied addiert werden.
Anwendung:

S. Hilger, Didaktik der Algebra 20
• Leichteres Quadrieren
42 2 = (40 + 2) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 2 + 2 2 = 1764.
• Kopfrechentrick beim Quadrieren einer ,,Fünferzahl”:
Eine zweistellige Zahl mit Endziffer 5 wird quadriert, indem man die Zehnerziffer
mit der um 1 erhöhten Ziffer multipliziert, zwei Nullen anhängt und 25 addiert.
(x|5) 2 = (x · 10 + 5) 2 = x 2 · 100 + 2 · x · 10 · 5 + 25 = x(x + 1) · 100 + 25.
• Vereinfachtes schriftliches Quadrieren einer zweistelligen Zahl (Wegen Schreibtechnik *
statt ·)
47 * 47 = 76 * 76 = 31 * 31 =
--------- ---------- ----------
1649 4936 0901
56 84 06
--------- ---------- ----------
2209 5776 0961
• Der Unterschied zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen n 2 und (n+1) 2 ist n+(n+1).
Die Minus–Formel
Sie wird auch als 2. binomische Formel bezeichnet.
Zugang über den Flächenvergleich in einem Quadrat
a
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a
� �� �
b
b
Rechnerisch erhält man das durch Zurückführen auf die Grundformel.
(a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Alternative: Zurückführen auf die Plus–Formel:
(a − b) 2 = (a + (−b)) 2 = a 2 + 2a(−b) + (−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Ein Problem stellt hier das Ersetzen der Variable b (in der Plusformel) durch (−b) dar.
Anwendung: Leichteres Quadrieren
49 2 = (50 − 1) 2 = 50 2 − 2 · 50 · 1 + 1 2 = 2401.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 21
Die Plus–Minus–Formel
Sie trägt auch den Namen ,,3. binomische Formel”.
Zugang über die Umstellung einer Rechtecksfläche der Seitenlängen a+b und a−b. Man schneidet
sie entsprechend einer der beiden Skizzen durch und dreht bzw. verschiebt das ,,rechte” Teilstück,
so dass eine ,,Quadratdifferenz” entsteht.
b
a
.
a
b
a − b
b
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
Der Flächeninhalt der linken Figur ist (a + b) · (a − b), der der rechten ist a 2 − b 2 . Da nur ein
Teilstück (kongruent) umgelegt wurde, muss zwischen linker und rechter Figur Flächengleichheit
bestehen:
(a + b) · (a − b) = a 2 − b 2 .
Alternativ kann man auch die folgende Umlegung eines Teilrechtecks vornehmen und dann
genauso argumentieren:
a b
.
a − b
a
. .
.
.
.
.
.
.
.
b
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
Alternativ kann man die Plus–Minus–Formel durch Zurückführen auf die Grundformel herleiten:
(a + b) · (a − b) GF
= a 2 − ab + ba − b 2 KG
= a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2 .
Anwendung: Leichteres Kopf–Multiplizieren
49 · 51 = (50 − 1) · (50 + 1) = 50 2 − 1 2 = 2499.
Bei der Betragsberechnung einer komplexen Zahl (i.A. nicht schulrelevant), stellt sich heraus,
dass die Plus–Minus–Formel mit dem Satz von Pythagoras verknüpft ist: Für eine komplexe
Zahl z = a + ib mit Betrag |z| = c gilt:
c 2 = z · z = (a + ib) · (a − ib) = a 2 − (ib) 2 = a 2 + b 2 .
.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 22
Die binomischen Formeln auf einen Blick
Es gelten die Formeln
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (Plus–Formel)
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (Minus–Formel)
(a + b) · (a − b) = a 2 − b 2 (Plus–Minus–Formel)
Diese tabellarische Darstellung ist nicht unbedingt als Merkhilfe gedacht, sie betont aber nochmals
die Idee, dass Summenterme multipliziert werden.
Konkrete Durchführung bei umfangreicheren Termen:
(25xy 2 + 4p) 2 = (25xy 2
� �� �
a
+ 4p
����
b
) 2 = (25xy 2
� �� �
a
) 2 + 2 · 25xy 2
· 4p
� �� �
a
����
b
+( 4p ) 2
Eine Hilfestellung ist dadurch gegeben, dass die Glieder, die die Rolle von a und b innerhalb der
Formeln spielen, durch Bleistiftunterschrift entsprechend gekennzeichnet werden.
Eine Schwierigkeit tritt auf, wenn in solchen Termen selbst die Variablen a oder b auftreten:
( 3a
����
a
+ 5b
����
b
) 2 = . . .
Behebung: Umwechseln zu A, B oder α, β oder anderen geeigneten Variablennamen oder -
symbolen. n.
Früher mußten auch die binomische Formeln für höhere Potenzen (B: (a + b) 3 ) (auswendig)
beherrscht werden.
Heute eher: Fähigkeit, solche Terme zu multiplizieren.
Hinweis (Fachmathematik) : Es gilt der binomische Lehrsatz:
(a + b) n =
n�
k=0
� �
n
a
k
k b n−k
Bei mehrgliedrigen Summentermen (B: (a + b − c) 2 ) sollte man das Ausmultiplizieren direkt
anwenden.
����
b

S. Hilger, Didaktik der Algebra 23
2.6.4 Faktorisierung von Summentermen
Einstieg: Betrachte den Term T (e; f) = e2−f 2
e+f
eingesetzt.
e 5 1 3 −2 2
3
f 2 1 0 1 1
2
T (e; f) 3 0 3 −3 1
6
1, 2
−0, 52
1, 72
Offenbar gilt: T (e; f) = e − f. Wie kann man das herausfinden? So:
T (e; f) = e2 − f 2
e + f
= (e + f)(e − f)
e + f
= e − f.
. Es werden verschiedene Zahlen für e und f
Dabei wurde die binomische Formel angewandt, um den Zähler zu faktorisieren.
Definition: Kann ein Summenterm durch ein Ä–Umformung in einen Produktterm überführt
werden, so spricht man von einer Faktorisierung.
Zur Faktorisierung werden das Distributivgesetz, die Grundformel und die binomischen Formeln
,,in Rückwärtsrichtung” angewandt.
Zusammenfassung der Faktorisierungsmethoden
Gesetze Multiplizieren Faktorisieren
Minusklammerregel
−(b − a) = a − b
Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac
Grundformel
(a + b)(c + d) = ac + ad +
bc + bd
Plusformel
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Minusformel
(a − b) 2 = a2 − 2ab + b2 Plusminusformel
(a − b)(a + b) = a2 − b2 mit −1 multiplizieren
,,Umkehren
chen”
der Vorzei-
Ausmultiplizieren
,,in die Klammer ziehen”
durch −1 dividieren
,,Umkehren
chen”
Ausklammern
der Vorzei-
,,aus der Klammer ziehen”
Gliedweises Multiplizieren Wiederholtes Ausklam-
Anwenden der Plusformel
mern (anspruchsvoll: Satz
von Vieta)
Anwenden der Plusformel
in umgekehrter Richtung
Anwenden der Minusformel Anwenden der Minusformel
Anwenden der Plusminusformel
in umgekehrter Richtung
Anwenden der Plusminusformel
in umgekehrter
Richtung
Beim Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln kann es leicht zu einem Fehler kommen, der auf
die Nicht–Beachtung des Faktors 2 zurückzuführen ist:
9r 2 − 6rs + 4s 2 ? = (3r − 2s) 2
Hilfreich für die Vermeidung dieses Fehlers ist der Faktorisierungs–Dreischritt
1. Suche das erste quadratische Glied!
2. Suche das zweite quadratische Glied!
3. Teste das doppelte gemischte Glied!

S. Hilger, Didaktik der Algebra 24
2.6.5 Typische Fehler beim Termrechnen
• Verletzung der Potenzregeln.
• Zusammenfassen verschiedenartiger Produktterme
• Falsches Zusammenfassen gleichartiger Produktterme.
• Falsche Anwendung der Klammerregeln.
• Falsche Anwendung des Distributivgesetzes.
• Bei Anwendung der Grund–, Plus oder Minusformel werden die ,,gemischten Glieder” nicht berücksichtigt:
(b + 3) · (b − 4) = b 2 − 12 (3 + x) 2 = 9 + x 2
(c − 2x) 2 = c 2 ± 4x 2

S. Hilger, Didaktik der Algebra 25
3 Gleichungen und Ungleichungen
3.1 Historische Episoden, Klassische und moderne Auffassung
Gleichungen standen immer im Mittelpunkt der Algebra.
• Geronimo Cardano (1501 – 1576), Niccolo Tartaglia (1500 – 1557): Prioritätsstreit um Lösungen
der kubischen Gleichung.
• Ludovico Ferrari (1522 – 1565): AufLösung der Gleichung 4. Grades. (→ dtv–Atlas Mathematik,
Band 1, S. 110).
• Francois Viete (1540 – 1603, Schöpfer der ,,Buchstabenalgebra”): Zusammenhang von Lösungen
und Koeffizienten in quadratischen Gleichungen.
• Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855): Fundamentalsatz der Algebra.
• Niels Henrik Abel (1802 – 1829): Die allgemeine Gleichung 5. Grades ist nicht durch Radikale
lösbar (Radikalerweiterung eines Körpers: Grundrechenarten und Wurzelziehen ist unbeschränkt
möglich).
Beispiel: x 5 − 6x 3 + 3 = 0.
• Pierre de Fermat (1601 – 1665): Vermutung, dass die Gleichung
x n + y n = z n
für n ≥ 3 keine nichttriviale ganzzahlige Lösung besitzt. (Beweis: Andrew Wiles, 1994, vgl. [?, S.
101]).
• Issac Newton (1642 — 1727): Iterative Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen:
xn+1 = f(xn)
f ′ (xn) .
• Moderne Algebra: Differenzial-, Integral-, Funktionalgleichungen: Mehr eine Theorie der geeigneten
Räume (Funktionalanalysis) als eine Theorie der Darstellung von Wurzeln (Algebra).
Beispiel: Die Gewöhnliche Differenzialgleichung
y ′ = x 2 + y 2
besitzt keine ,,elementare” Lösung.
3.2 Wandel der Begriffe von Gleichung und Lösung
3.2.1 Klassische Auffassungen
G (Gleichung) Im Bestreben, die Theorie der Gleichungen zu systematisieren, sah man sich gewichtigen
Problemen ausgesetzt. Man verzettelte sich in einem unübersichtlichen Begriffssystem (Vgl.
Vollrath, S. 184).
U (Ungleichungen) Gleichungen und Ungleichungen werden in unterschiedlichen Konzepten aufgearbeitet.
L (Lösung) Lösungen sind Zahlen, die die Gleichung erfüllen. Vielfalt der Strukturen von Lösungsmengen:
(Keine Lösung, Über- und Unterbestimmtheit, diskret viele, unendlich viele Lösungen,. . . )
Tabuisierung von pathologischen Fällen
x = x + 1 5x − 3 = 7 + 5x
x = x 3x + 9 = 3(x + 3)
0 = 0 17 + 4 = = 21

S. Hilger, Didaktik der Algebra 26
Ä (Ä–Umformungen) Man versucht für die vielen Gleichungstypen entsprechende (Lösungs–
)Techniken zu entwickeln.
Der Syntax–Gedanke (Vorschriften, erlaubt, unerlaubt) tritt auf.
Beispiel einer Merkregel über das ,,Rüberbringen”:
Riwwer–ruff — niwwer–nunner.
Die Techniken sind zum Teil nicht zu durchschauen: Wie kommt zum Beispiel der Übergang von
der Variablen x
ax 2 + bx + c = 0
zu der doppel–deutigen Variablen x1,2 in der Lösungsformel
x1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac
2a
zustande? Was heißt ±?
Z (Zahl) Was ist die Rolle des umgebenden Zahlbereichs? Beispiel:
x 2 + 1 = 0
P (Praxis) Algebraische Aspekte stehen in Vordergrund.
3.2.2 Reform
G Mathematische Begriffsklärung im Rahmen der Logik und Mengenlehre:
Eine Gleichung ist eine Aussageform, die bei Einsetzungen von Elementen der Grundmenge
anstelle der Variablen in eine (wahre oder falsche) Aussage übergeht.
U Ungleichungen sind einfach nur eine Spielart von Aussageformen.
L Die Lösungsmenge ist die Erfüllungsmenge der Aussageform.
L :=
� �
�
x ∈ G�
Gleichung in
�
x
Die Grundmenge bildet den ,,Rahmen”.
Ä Gleichungen werden dadurch umgeformt, dass auf die beiden Terme auf der linken und der rechten
Seite die gleichen Abbildungen (Operationen) angewandt werden.
Dabei ändert sich — bei fest gegebener Grundmenge — im allgemeinen die Lösungsmenge Lv
(vorher) in eine Lösungsmenge Ln (nachher).
Eine Umformung heißt nun speziell . . .
– Gewinnumformung, wenn Ln ⊃ Lv.
(Beispiele: Multiplizieren mit der Variablen, Multiplizieren mit Null, Quadrieren, . . . )
Wird eine Gleichung mittels Gewinnumformungen gelöst, so muss man a posteriori die Elemente
der Lösungsmenge daraufhin testen, ob sie die Gleichung erfüllen (Probe!).
– Verlustumformung, wenn Ln ⊂ Lv. (Beispiele: Dividieren durch die Variable, Wurzelziehen,
Auflösen von Beträgen, . . . )
Alle Elemente der Lösungsmenge sind tatsächlich Lösungen, man kann sich aber nicht sicher
sein, alle Lösungen gefunden zu haben.
– Äquivalenzumformung, wenn Ln = Lv (siehe unten).
Z Der Begriff ,,Zahl” tritt gegenüber dem Begriff ,,Struktur” in den Hintergrund.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 27
P Aussagenlogik und Mengenlehre etablieren sich als eigenständige Inhalte.
Die Syntax–Auffassung bei der Umformung von (Un–)Gleichungen tritt in den Vordergrund. Umformungsregeln
werden nicht ausreichend begründet. Es werden übertrieben Symbole (Quantoren,
logische Verknüpfungen ¬, ∨, ∧) benützt.
Die Reformbestrebungen erscheinen im Nachhinein aber überzogen: Insgesamt wird die Abstraktionsfähigkeit
der Schüler überstrapaziert (→ Piaget).
3.3 Heute: Pragmatismus in der Schulpraxis
Man versucht, die Gleichungslehre schlicht zu halten.
G Gleichungen erscheinen stärker im Kontext von Termen
Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme gleich gesetzt werden.
U Ungleichungen werden — im Sinne von Variation und Flexibilität — immer gleich miterfasst.
Gründe dafür:
– Die praktische Legitimation der Verwendung des Begriffs der Lösungsmenge tritt schon bei
einfacheren (Un–)Gleichungen auf.
– Der Ordnungsaspekt der Zahlen wird betont.
– Propädeutik der Analysis.
– Relativierung und Hinterfragung der ,,Hinüberbring”–Auffassung.
L Aus der Aussagenlogik und der Mengenlehre werden die zweckmäßigen Begriffsbildungen und
Spechweisen übernommen:
1. Die Menge, deren Elemente für die Einsetzung anstelle einer Variablen einer (Un–)Gleichung
vorgesehen sind, heißt Grundmenge G der (Un-)Gleichung.
2. Die Menge der Elemente aus der Grundmenge G, die für die Variable einer (Un–)Gleichung
eingesetzt werden dürfen, heißt Definitionsmenge D der (Un–)Gleichung.
3. Die Menge der Elemente der Definitionsmenge D, für die die (Un–)Gleichung erfüllt ist, heißt
Lösungsmenge L der (Un–)Gleichung.
4. Eine (Un–)Gleichung, für die L = { } gilt, heißt unerfüllbar.
5. Eine (Un–)Gleichung, für die L = D gilt, heißt allgemeingültig.
Z Es werden Äquivalenzumformungen genau beschrieben.
Beispiele sind
1. Vertauschung der Seiten.
2. Termumformungen auf der linken oder rechten Seite.
3. Addition bzw. Subtraktion einer beliebigen Zahl.
4. Addition bzw. Subtraktion eines beliebigen Terms.
5. Multiplikation mit bzw. Division durch eine positive Zahl.
6. Multiplikation mit bzw. Division durch eine negative Zahl unter gleichzeitiger Umkehrung
des Relationszeichens (Problem: Anwendung des Waage–Modells).
7. Multiplikation mit bzw. Division durch einen Term, der bei Einsetzung beliebiger Elemente
der Grundmenge nur positive Werte annimmt.
8. Multiplikation mit bzw. Division durch einen Term, der bei Einsetzung beliebiger Elemente
der Grundmenge nur negative Werte annimmt, unter gleichzeitiger Umkehrung des Relationszeichens.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 28
9. Auf beiden Seiten wird der Kehrwert gebildet. Dabei ist ebenfalls das Relationszeichen umzukehren
(B: Parallelschaltung von Widerständen, Abbildungsgleichung).
• Dazu einige Bemerkungen:
– Nur die ersten sechs Typen von Äquivalenzumformungen sind schulrelevant.
– Bei den Äquivalenzumformungen 3 – 9 sollte immer der Aspekt
,,Auf beiden Seiten der Gleichung wird die gleiche Operation ausgeführt”
gegenüber dem ,,auf die andere Seite bringen” oder dem ,,Rüberbringen” herausgestellt werden.
– Beachte, dass der Sonderfall (Umkehrung des Relationszeichens) nur bei der Konstellation
auftritt.
Punktoperation, negative Zahl, Ungleichung
• Zur einführenden Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen bei Gleichungen dient das
Waagen–Modell.
– Man braucht mehrere gleiche Gegenstände der Masse (Gewicht) Z, die die Zahl 1 repräsentieren.
Beispiel: Doppelte Vierer–Duplo–Steine.
– Man braucht mehrere gleiche Gegenstände der Masse (Gewicht) V , die die Variable x repräsentieren.
Beispiel: Standard–Haushalts–Kerzen.
– Es sollte V — relativ genau — ein kleines ganzzahliges Vielfaches von Z sein. Eventuell kann
man das leichter erreichen, wenn man die Masse Z oder V manipulieren kann (Aufkleben von
Büroklammern, Einstechen von Reißnägeln).
– Gegenstände, die auf andere Weise (Mass–)Zahlen aufweisen (Gewichtsstücke, Münzen) sind
nicht so günstig, da sie von der Grundidee des Waage–Modells ablenken. Es wird dann mehr
Aufmerksamkeit der Frage gewidmet, welchen Wert oder welches Gewicht tatsächlich die
Gegenstände haben.
– Das Waagen–Modell hat Grenzen, da . . .
∗ beliebige negative, rationale oder reelle Zahlen
∗ Das Quadrat oder andere Potenzen von Variablen
∗ Die Multiplikation mit bzw. Division durch negative Zahlen
nicht gut repräsentiert werden können.
Auch zur Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen kann das Waage–
Modell herangezogen werden. Beachte aber:
– Die Waagschale der schwereren Seite ist unten. Das kollidiert mit der Vorstellung bei vertikaler
Anordnung eines Zahlenstrahls, dass größere Zahlen weiter oben stehen.
– Legt man auf die schwerere Seite beispielsweise zwei Einheiten, auf die leichtere eine Einheit,
so bleibt die Waagen–Situation bestehen. Dies könnte den Eindruck hervorrufen, dass eine
Äquivalenzumformung repräsentiert wird.
Das Waage–Modell sollte nur zur einführenden Veranschaulichung von Äquivalenzumformungen
benutzt werden. Der kontinuierliche Einsatz, beispielsweise auch bei komplexeren Beispielen, führt
vom Lernziel ,,Fertigkeit und flexibler Umgang mit den Techniken der Äquivalenzumformung” weg.
• Gewinn- und Verlustumformungen werden nicht als Begriffe thematisiert, ihre Problematik aber
angerissen durch Eingrenzung der Grundmenge auf die Definitionsmenge, Probe, Fallunterscheidungen.
• Sinn der Probe allgemein:
– Verlebendigung einer formalen Prozedur, Einsicht in die Schlagkraft eines Algorithmus.
– Austesten von Lösungen bei Gewinnumformungen.
– Fehlertest.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 29
• Beachte, dass die beiden Gleichungen
x 2 − 2 = 0 und x 2 − 3 = 0
über Q äquivalent sind (→ Fehlauffassung).
• Problem der Zielrichtung: Was heißt ,,Vereinfachung”?
P Gleichungen als Hilfsmittel bei Anwendungen, d.h. Sachaufgaben.
Maria ist 24 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt, wie Anna war als Maria so alt war, wie Anna jetzt
ist. Wie alt ist Anna?
Unterstützung durch graphische Darstellungen: Lösung als Nullstelle.
3.4 Gleichungen: Der Kurs in der Schule
• Grundschule: Platzhalteraufgaben (�) oder (Klecksaufgaben) als Propädeutik des Gleichungsbegriffs:
Lösung mittels konkreter Vorstellungen und Umkehroperationen. Eine Besonderheit: Aufgaben
mit unbekanntem Relationszeichen
• 5./6. Jahrgangsstufe: Einfache (Un-)Gleichungen als ein Mittel zur Durchdringung des jeweils aktuellen
Zahlenraums. Lösungsmethoden: Probierverfahren, Vereinfachende Analogien, Umkehrtechnik.
Mengenlehre tritt als günstige Sprechweise in Erscheinung.
• 7./8. Jahrgangsstufe: Begriff der Äquivalenzumformung, Grund- und Definitionsmenge.
• Dann zunehmend anspruchsvolle (Un-)Gleichungstypen: Bruchgleichungen, Gleichungssysteme,
quadratische Gleichungen, Betragsgleichungen.
• Dabei immer: Text- oder Sachaufgaben.
• In der Geometrie: Gleichungen von Geraden, Ebenen, Kreisen, Ellipsen, Parabeln, Kegelschnitten.
3.5 Gleichungen als Aussagen
Gleichungen treten nicht nur als zu erfüllende Aussageformen (innerhalb eines Problems), sondern auch
als Aussagen (bei Sätzen, Definitionen,. . . ), auf.
• Formelgleichungen: Anwendungen in Physik, Wirtschaft usw.
1
Rges
= 1
+
R1
1
R2
• Rechengesetze: Für alle a, b ∈ Q gilt: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
• Mengenbeschreibende Gleichungen:
� �
�
Q = n ∈ N�
Es existiert ein m ∈ N, so dass m 2 �
= n
• Funktionsgleichungen:
y = f(x) = x 2 + sin(x).

S. Hilger, Didaktik der Algebra 30
3.5.1 Typische Fehler bei Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Beachte, dass im folgenden Fehler beschrieben werden. Die angegebenen Umformungen sind also keine
(gültigen) Äquivalenzumformungen.
• Fehler beim Rechnen mit Zahlen (aller Art)!
• Fehler bei Termumformungen: Siehe dort!
• Die Variable in einem Produktterm wird durch Subtraktion isoliert:
�
�
3x + 5 = 26 � − 3 ⇐⇒ x + 5 = 23
23(3x − 7) = 115
6x + 3 = 12
�
�
� − 23 ⇐⇒ 3x − 7 = 92
�
�
� − 5 ⇐⇒ x + 3 = 7
• Mangelnde Berücksichtigung des Distributivgesetzes:
2x + 3 = 4
�
�
� : 2 ⇐⇒ x + 3 = 2
• Vermeintliche Berücksichtigung des Distributivgesetzes:
25 · (x + 15) = 150
�
�
� : 5 ⇐⇒ 5 · (x + 3) = 30
• Zwei Schritte werden zugleich ausgeführt und dabei die Reihenfolge vertauscht:
6x 2 + 4x + 14 = −8x
�
�
� + 8x :2 ⇐⇒ 3x 2 + 10x + 7 = 0
• Beim ,,Rüberbringen” treten Vorzeichenfehler auf:
6x 2 + 4x + 14 = −8x
�
�
� + 8x ⇐⇒ 6x 2 − 4x + 14 = 0
(Das vorhandene Vorzeichen bei 8x wirkt zu stark.)
• Fehler mit Null und Eins:
25 · x = 25 ⇐⇒ x = 0
(Die Operation · x auf der linken Seite ist ,,ohne Einfluss”, also muss x gleich Null sein.)
3x − 2 = 0
�
�
� + 2 ⇐⇒ 3x = 0
• Fehler im Zusammenhang mit Brüchen:
140 a + 70 = 35
x
�
�
� : 35 ⇐⇒ 4a + 2 = x
• Mangelndes Problembewußtsein um Gewinn- und Verlustumformungen.
oder
x 2 = 625 ⇐⇒ x = 25
|x − 2| = 27 ⇐⇒ x = 25
• Viele dieser Fehler treten verstärkt auf, wenn Parameter (Formvariable) anstelle von Zahlen in den
Gleichungen auftreten.
• Bei Ungleichungen: Falsche Berücksichtigung der Umkehr des Relationszeichens.
• Mangelnde Unterscheidung von Mal–Punkten und Minuszeichen (Schrift).

S. Hilger, Didaktik der Algebra 31
3.6 Quadratische Gleichungen
3.6.1 Der Begriff
Eine Gleichung, die sich — direkt oder nach einer Äquivalenzumformung — in der Form
ax 2
����
+
����
bx +
����
c = 0,
qu.G. l.G. k.G.
mit (fest gegebenen Zahlen) a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R schreiben lässt, heißt Quadratische Gleichung.
Die Abkürzungen bedeuten quadratisches, lineares bzw. konstantes Glied.
Die obige Form der Gleichung heißt Normalform oder Summenform der quadratischen Gleichung (im
Gegensatz zur Scheitelform, eher geometrisch wichtig).
3.6.2 Beispiele
• x 2 − 4x + 3 = 0
• 3x 2 + 7x − 36 = 28x − 25x 2 − 40
• (x − 25) 2 = 0
• x 2 = 36
• x · (x + 5) = 8
Ü1: Bestimme jeweils die Normalform und dann die drei Glieder!
Ü2: Kannst Du Lösungen finden?
Die Variable muss nicht unbedingt x sein. Auch
3y 2 + 5y − 12 = 0
ist eine quadratische Gleichung.
3.6.3 Lösungsverfahren anhand von Beispielen
• 5x − 3 = 0 (Nicht–Beispiel)
Die Sofort–Präsentation der Lösungsformel ist insofern ungünstig, als die Schüler/innen den Eindruck
erhalten, dass sie fertige Werkzeuge einfach nur benutzen sollen und sie ,,sowieso” keine Einsicht in ihr
Zustandekommen erfahren können.
Ein Vorschlag: Von einfachen zu schwierigen Beispielen. (Die Kennzeichen der einzelnen Schritte sollen
in der Schulpraxis nicht angegeben, sondern jeweils bestimmt werden).
Beispiel 1: b = 0, a = 1, c beliebig.
• x 2 − 25 = 0 =⇒ L = {−5; +5}
• x 2 − 12 = 0 =⇒ L = {− √ 12; + √ 12}
• x 2 = 0 =⇒ L = {0}
• x 2 + 9 = 0 =⇒ L = {}
Beispiel 2: b = 0, a, c beliebig .
• 9x 2 − 25 = 0 =⇒ L = {− 5
; +5
3 3 }

S. Hilger, Didaktik der Algebra 32
• 2x 2 − 4 = 0 =⇒ L = {− √ 2; + √ 2}
• 3x 2 = 0 =⇒ L = {0}
• −5x 2 − 80 = 0 =⇒ L = {}
Beispiel 3: b �= 0, a = 1, D := b 2 − 4ac = 0.
x 2 − 10x + 25 = 0 ⇐⇒
(x − 5) 2 = 0 ⇐⇒
x − 5 = 0 L = {5}.
Beispiel 4: b �= 0, a = 1, D := b 2 − 4ac > 0.
x 2 − 10x + 16 = 0 ⇐⇒
x 2 − 10x + 25 − 9 = 0 ⇐⇒
(x − 5) 2 − 9 = 0 ⇐⇒
(x − 5) 2 = 9 ⇐⇒
x − 5 = −3 oder x − 5 = +3
Beispiel 5: b �= 0, a = 1, D := b 2 − 4ac < 0.
x = 2 oder x = 8 ⇐⇒ L = {2; 8}.
x 2 − 10x + 74 = 0 ⇐⇒
x 2 − 10x + 25 + 49 = 0 ⇐⇒
(x − 5) 2 + 49 = 0 ⇐⇒
(x − 5) 2 = −49 ⇐⇒ L = { }.
Beispiel 6: b �= 0, a beliebig, D := b 2 − 4ac = 0.
9x 2 + 12x + 4 = 0 ⇐⇒
(3x + 2) 2 = 0 ⇐⇒
(3x + 2) = 0 ⇐⇒ L = {− 2
3 }.
Beispiel 7: b �= 0, a beliebig, D := b 2 − 4ac > 0.
9x 2 + 24x − 9 = 0 ⇐⇒
9x 2 + 24x + 16 − 25 = 0 ⇐⇒
(3x + 4) 2 − 25 = 0 ⇐⇒
(3x + 4) 2 = 25 ⇐⇒
3x + 4 = −5 oder 3x + 4 = +5 ⇐⇒
x = −3 oder x = 1
3
Beispiel 8: b �= 0, a beliebig, D := b 2 − 4ac < 0.
9x 2 + 24x + 20 = 0 ⇐⇒
9x 2 + 24x + 16 + 4 = 0 ⇐⇒
(3x + 4) 2 + 4 = 0 ⇐⇒
(3x + 4) 2 = −4 ⇐⇒ L = { }.
⇐⇒ L = {−3; 1
3 }.
• Betrachte zuerst die Beispiele 3,4,5. Verfolge zurück, woran es liegt, dass 2,1,0 Lösungen auftreten!
• Betrachte die Beispiele 6,7,8.
• Was ist mit dem Sonderfall c = 0?

S. Hilger, Didaktik der Algebra 33
3.6.4 Die Lösungsformel
Ziel: Wir wollen eine Formel für die Lösungsmenge einer beliebigen quadratischen Gleichung finden, die
in Summenform gegeben ist,
a · x 2 + b · x + c = 0 (∗).
1. Der Divisionstrick: Wir dividieren die (beiden Seiten der) Gleichung durch den Formfaktor a �= 0
x 2 + b c
· x + = 0.
a a
2. Quadratische Ergänzung: Wir schieben zwei Summanden dazwischen, die sich kompensieren:
x 2 + b
� �2 � �2 b b
· x + − +
a 2a 2a
� �� �
=0
c
= 0.
a
3. Wir wenden die Plusformel in Rückwärtsrichtung an:
�
x + b
�2 � �2 b
− +
2a 2a
c
= 0.
a
4. Wir isolieren (herausschälen) den quadratischen Term
�
x + b
�2 � �2 b
= −
2a 2a
c
a .
und formen weiter um
�
x + b
�2 =
2a
1
4a2 · (b2 − 4ac).
� �� �
=:D
Der Ausdruck in der Klammer heißt Diskriminante. Wir können übersichtlicher schreiben:
�
x + b
�2 =
2a
D
4a2 (∗∗).
Beachte, dass die Anfangsgleichung (∗) und die Endgleichung (∗∗) äquivalent sind.
5. Wir unterscheiden jetzt drei Fälle:
(a) Die Diskriminante ist positiv D > 0. Dann ist die Gleichung (∗∗) äquivalent zu:
x + b
⇐⇒
√
D
= +
2a 2a
x = −
√
b D
oder x + = −
2a 2a
b
2a +
√
D
2a
b
oder x = −
2a −
√
D
2a
Wir können also die Lösungsmenge aufschreiben:
L =
�
− b
2a +
√
D b
; −
2a 2a −
√
D
� �
= −
2a
b
2a ±
√
D
�
.
2a
(b) Die Diskriminante ist Null D = 0. Dann ist die Gleichung äquivalent zu der linearen Gleichung:
x + b
= 0,
2a
die wir leicht lösen können:
�
L = − b
�
.
2a

S. Hilger, Didaktik der Algebra 34
(c) Die Diskriminante ist negativ D < 0. Dann besitzt die Gleichung (∗∗), also auch die Gleichung
(∗) keine Lösung.
��
L = .
Wir fassen dieses Verfahren in einem Satz zusammen:
Satz: Es sei ein quadratische Gleichung in Summenform vorgegeben:
a · x 2 + b · x + c = 0.
Es wird dann die Diskriminante als Ausdruck D := b 2 − 4ac gebildet. Ist dann
• D < 0, so gibt es keine Lösung: L =
��
.
• D = 0, so gibt es genau eine Lösung L =
�
− b
�
2a .
• D > 0, so gibt es genau zwei verschiedene Lösungen
L =
Weiterführung:
Dann
�
− b
2a +
√
D b
; −
2a 2a −
• Lerne die Lösungsformel auswendig!
√
D
�
.
2a
• Viele Beispiele, insbesondere Probe machen.
• Biquadratische Gleichungen sind quadratische Gleichungen in der Variablen x 2 .
• Wurzelgleichungen sind quadratische Gleichungen in der Variablen √ x.
• Parameter–Gleichungen: Die Zahl der Lösungen hängt von einem Parameter ab.
• Sachaufgaben:
– Kombinatorik: Bei einer Party schütteln sich alle gegenseitig die Hände. Wie viele Gäste sind
da, wenn dies 45 mal geschieht. Hinweis:
n · (n − 1)
45 =
2
– Extremwertaufgaben: Auf einer Wiese soll ein rechteckiges Teilstück durch einen 800 m langen
Zaun eingegrenzt werden. Wie lang/breit muss das Rechteck sein, damit die eingesperrten
Schafe am meisten zu fressen bekommen?
s · (800 − s) = F

S. Hilger, Didaktik der Algebra 35
4 Die reellen Zahlen
Geschichtliches: LambacherSchweizer A9 ([Sch93, S. 100]), Barth/Federle/Haller, Algebra 9.
4.1 Unvollständigkeit der rationalen Zahlen
Beobachtung:
Es gibt keine rationale Zahl a = p
q mit a2 = 2. Gleichbedeutend damit sind die Aussagen:
• Die Gleichung x 2 = 2 hat für G = Q eine leere Lösungsmenge.
• Die Funktion x 2 − 2 hat keine Nullstelle in Q.
• Das quadratische Polynom x 2 − 2 hat über Q keine Linearfaktoren.
Beweis 1. Möglichkeit (Schulnah formuliert: Die eigentlich schwierige Tatsache, dass es sich um einen
Widerspruchsbeweis handelt, wird durch bestimmte Formulierungen entschärft).
Wir untersuchen eine beliebige rationale Zahl (Bruch) p
q ∈ Q daraufhin, ob ihr Quadrat gleich 2 sein
kann.
Wir kürzen so weit wie möglich und erhalten
p
q = p n
qn
(n bedeutet neu),
wobei pn und qn teilerfremd sind. Wenn das Quadrat von p
q
sein.
� pn
qn
� 2
= p2 n
q 2 n
= 2 (∗)
gleich 2 sein soll, muss
Für die Herbeiführung des Widerspruchs gibt es die folgenden beiden (vielleicht noch andere?) Möglichkeiten:
1. Da pn und qn teilerfremd sind, sind auch p 2 n und q 2 n teilerfremd. Der Bruch in (∗) kann also nicht
gekürzt werden und deshalb nicht den Wert 2 annehmen.
2. • Wir stellen die Gleichung (∗) um:
p 2 n = 2 · q 2 n
• Wir führen für diese Gleichung einen Endziffernvergleich durch:
qn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q 2 n 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
p 2 n = 2q 2 n 0 2 8 8 2 0 2 8 8 2
Das bedeutet, dass p 2 n = 2q 2 n als Endziffer eine 0, eine 2 oder eine 8 haben muss.
• Da p 2 n eine Quadratzahl ist, kommt aber nur 0 in Frage.
• Die Tabelle zeigt dann, dass q 2 n als Endziffern eine 0 oder 5 haben muss, in jedem Fall ist q 2 n
durch 5 teilbar.
• Dann ist aber auch p 2 n durch 5 teilbar.
• Also sind sowohl pn als auch qn durch 5 teilbar.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 36
• Das steht im Widerspruch dazu, dass p n und q n teilerfremd sind.
Bemerkung: Beiden Beweisen liegen etwas tiefergehende Sätze über Zahldarstellung zugrunde: Die Existenz
und Eindeutigkeit der Primzahldarstellung bzw. die Existenz und Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung
von natürlichen Zahlen.
Überlege: Für eine Zahl n ∈ N sind die folgenden Aussagen äquivalent:
• n ist eine Quadratzahl, das heißt es gibt eine natürliche Zahl m, so dass m 2 = n.
• Es gibt eine rationale Zahl p
q
mit ( p
q )2 = n.
In der Schule könnte man sich das folgende Vorgehen (innerhalb einer längeren Unterrichtssequenz oder
eines kleineren Projekts) vorstellen.
Einstieg: Wir suchen eine rationale Zahlen p
(dabei sind also p und q natürliche Zahlen), deren Quadrat
q
gleich zwei ist.
Durch Raten:
� �2 14
10
� �2 1387
981
= 142 196
= = 1, 96
102 100
= 142 196
= ≈ 1, 999
102 100
Wettbewerb: Wer hat die zwei Zahlen p und q ermittelt, so dass
Einsatz von Taschenrechner oder Computer.
� �2 p
am nähesten bei der Zahl 2 liegt?
q
Es stellt sich im Laufe der Zeit heraus, dass niemand zwei Zahlen finden kann, so dass
(Wenn doch: Belohnung 1000 ∈). Hat dies einen tieferen Grund?
�
� �2 p
= 2 ist.
q
Zusatzfrage: Gibt es zwei rationale Zahlen (Brüche), für die das Quadrat des Quotienten gleich 2 ist?

S. Hilger, Didaktik der Algebra 37
4.2 Intervallschachtelungen
4.2.1 Mathematische Grundlegung
Definitionen:
1. Eine Folge (In)n∈N von Intervallen In = [an, bn] ⊆ Q, n ∈ N, heißt Intervallschachtelung (auf Q),
wenn
• In+1 ⊆ In für alle n ∈ N.
• limn→∞ In = limn→∞(bn − an) = 0.
2. Eine Intervallschachtelung (In)n∈N heißt feiner als eine andere Intervallschachtelung (Jn)n∈N, wenn
zu jedem n ∈ N ein m ∈ N existiert, so dass
In ⊆ Jm.
3. Auf der Menge I(Q) der Intervallschachtelungen von Q definieren wir eine Relation (In)n∈N ∼
(Jn)n∈N durch die folgende Eigenschaft:
(In)n∈N ist feiner als (Jn)n∈N und (Jn)n∈N ist feiner als (In)n∈N.
4. Die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation heißt die Menge der reellen
Zahlen R.
Bemerkungen
• Die Relation ,,feiner” ist reflexiv und transitiv und damit eine Quasiordnung. Sie ist nicht antisymmetrisch.
Ganz allgemein kann man einer Quasiordnung � durch die obige Symmetrisierung eine
Äquivalenzrelation zuordnen.
• Andere Verfahren zur Vervollständigungs–Konstruktion der reellen Zahlen beruhen auf den Begriffen
der . . .
– Cauchy–Folgen: Vervollständigung beliebiger metrischer Räume oder
– Dedekind’schen Schnitte: Vervollständigung beliebiger geordneter Mengen,
– q–adische Entwicklungen: Nicht–periodische Entwicklungen stehen für reelle Zahlen (Oft in
der Schulpraxis).
4.2.2 Schulische Umsetzung
Natürlich sind die obigen Formulierungen zu abstrakt–formal gehalten, als dass sie in der Schule präsentiert
werden könnten. Eine Abschwächung (,,Elementarisierung”) könnte wie folgt geschehen:
1. Es seien Intervalle
I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], I3 = [a3, b3], . . .
mit a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . . ∈ Q vorgegeben. Man spricht von einer Intervallschachtelung, wenn
• jedes dieser Intervalle in dem Vorgängerintervall enthalten ist, d.h.
an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn
und
• die Längen der Intervalle immer kleiner werden und sich dabei immer mehr dem Wert Null
annähern.
2. Jede Intervallschachtelung legt eindeutig eine Zahl fest.
3. Die Menge der so festgelegten Zahlen heißt die Menge der reellen Zahlen.
Grundsatzproblem in der Schule: Intervallschachtelungen werden als Näherungsverfahren, nicht als Konstruktionsverfahren
verstanden. Dieser Eindruck wird noch verstärkt dadurch, dass bei der Umsetzung
in Beispielen meist dezimale (taschenrechnergestützte) Intervallschachtelungen vorgenommen werden.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 38
4.3 Das Heron–Verfahren
Geometrische Idee: Quadratur des Rechtecks.
Beim Heronverfahren werden iterativ Intervalle [xn; yn] bestimmt, die eine Intervallschachtelung darstellen,
so dass die zu lokalisierende Quadratwurzel in jedem Intervall enthalten ist.
Mathematische Grundlegung: Es sei a > 0 eine fest gegebene Zahl. Zur Vereinfachung der Schreibweisen
führen wir für beliebige x ∈ R + das Symbol
Ix := � min{x, a a
}, max{x,
x x }�
für das durch x und a
x
Lemma:
begrenzte Intervall ein.
(i) Für jede beliebige Zahl x ≥ 0 gilt √ a ∈ Ix.
(ii) Es gilt die Implikation
y ∈ Ix =⇒ Iy ⊆ Ix.
Beweis (i) Durch Multiplikation mit √ a
x
x ≤ √ a =⇒ √ a ≤ a
x .
Dabei kann ≤ durch ≥ ersetzt werden.
(ii) Die erste Aussage ist gleichbedeutend mit:
x ≤ y ≤ a
x
oder
a
≤ y ≤ x.
x
entsteht die Implikation
Wir wenden die Operation a : auf diese Ungleichungen an und erhalten
a a
a a
≥ ≥ x oder x ≥ ≥
x y y x .
Also sind beide Grenzen des neuen Intervalls Iy im alten Intervall Ix enthalten. �
Auf dieser Beobachtung beruht das Heronverfahren zur Bestimmung von √ a. Dabei werden Intervalle
der obigen Form immer weiter verkleinert.
1. Eine Grenze x1 für das Anfangsintervall I1 = I(x1) wird frei gewählt.
2. Das jeweils folgende Intervall In+1 erhält man dadurch, dass man als eine neue Intervallgrenze den
Mittelwert der beiden alten wählt: In+1 := I(
a xn+ xn
2 ).
Aus den obigen Überlegungen folgt, dass die so definierte Folge eine Intervallschachtelung bildet:
• Es gilt: In+1 ⊆ In. (vgl. oben (ii)).
• Für die Intervalllängen gilt:
|In+1| < 1
· |In|.
2
Dies liegt daran, dass der Mittelwert der alten Intervallgrenzen eine neue Intervallgrenze bildet.
Die andere Intervallgrenze liegt ebenfalls innerhalb des alten Intervalls.
• Die Intervalllängen bilden also eine Nullfolge.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 39
5 Potenzen
5.1 Von 2 3 bis π √ 3+2i : Erweiterungen der Definitionsmenge
N × N Die Potenz ist zunächst definiert als eine Funktion
⎧
⎨ N × N → N
↑
⎩
(a, s) ↦→ as :=
�
a · .
��
. . · a
�
s–mal
die eine ,,abkürzende Schreibweise” für die wiederholte Multiplikation von Zahlen beinhaltet. Mathematisch
befriedigender ist die rekursive Definition:
a 1 = a, a s+1 = a · a s , s ∈ N.
Die Zahl a heißt in diesem Zusammenhang Grundzahl oder Basis, die Zahl n Hochzahl oder Exponent.
Aus der Definition direkt ableitbar sind die drei Funktionalgleichungen (a, r, s ∈ N)
(F G I) (a · b) s = (a · b) . . . · (a · b)
� �� �
s–mal
(F G II) a r+s = a · . . . · a
� �� �
(r + s)–mal
(F G III) a r·s = a · . . . · a
� �� �
(r · s)–mal
= a · . . . · a
� �� �
r–mal
= a · . . . · a
� �� �
s–mal
= a r · . . . · a r
� �� �
= (a
s–mal
r ) s
· b
�
· .
��
. . ·
�
b = a
s–mal
s · b s
· a
�
· .
��
. . · a
�
= a
s–mal
r · a s
Im schulischen Kontext wird man hier normalerweise den Buchstaben n für den Exponenten verwenden,
um zu betonen, dass es sich um natürliche Zahlen handelt.
Das dem Hankel’schen Permanenzprinzip folgende Programm beinhaltet nun, die ,,Definitionsmenge”
N × N auf größere Teilmengen von R × R (oder sogar C × C und noch weiter) zu
1. erweitern, so dass
2. die obigen Funktionalgleichungen gültig bleiben (bleiben = permanere)
3. und die Funktion stetig ist.
Dabei kann auch die Wertemenge geeignet vergrößert werden.
Wir führen im folgenden dieses Programm durch. Die erweiterten Definitionsmengen sind jeweils
in Rahmen gesetzt.
Q ∗ × N (Zur Erinnerung: Q ∗ = Q \ {0}) Ganz zwanglos kann die Idee der wiederholten Definition auf
rationale Zahlen ungleich Null als Basis erweitert werden, die rationale Zahlen sind:
a s := a
�
· .
��
. . · a
�
,
s–mal
(a, s) ∈ Q ∗ × N.
Dabei bleiben die drei Funktionalgleichungen gültig.
Die Zahl 0 als Basis wollen wir von vornherein ausschließen, da sie sich innerhalb des folgenden
Programms ständig als Sonderfall erweist. Der Aufwand für eine ständige Berücksichtigung dieses
Sonderfalls lohnt sich nicht. Wir werden diesen Sachverhalt am Schluss noch einmal diskutieren.
Q ∗ × N0 Die Funktionalgleichung (FG II) soll weiter gelten, wenn die Null als Exponent auftritt. Das bedeutet
a s · a 0 = a s+0 = a s .

S. Hilger, Didaktik der Algebra 40
Die Multiplikation mit a 0 verändert die Zahl a s �= 0 nicht. Es muss also
sein.
a 0 = 1
Es stellt sich heraus, dass die drei Funktionalgleichungen bei dieser Erweiterung der Definitionsmenge
erfüllt bleiben.
Q ∗ × Z Zur Aufrechterhaltung der zweiten Funktionalgleichung muss beim Auftreten von negativen Exponenten
gelten
a s · a −s = a s+(−s) = a 0 = 1, (a, s) ∈ Q ∗ × N.
Man kann daher sinnvoll definieren
a −s := 1
=
as 1
.
a
�
· .
��
. . · a
�
s–mal
Es stellt sich heraus (Beweis), dass die drei Funktionalgleichungen erfüllt bleiben.
Q + × Q Es sei s = 1
n ∈ Q der Kehrwert einer natürlichen Zahl. Es muss aufgrund der FG III dann gelten:
(a 1
n ) n = a 1
n ·n = a 1 = a.
Nachdem also die n–te Potenz von a 1
n gleich a ist, ist es sinnvoll zu definieren:
a 1
n = n√ a.
Für gerades n könnte man hier auch a 1
n = − n√ a setzen, diese Vorgehensweise führt
jedoch wegen der anderen Funktionalgleichungen in Schwierigkeiten, beispielsweise so:
Ist jetzt s = p
q
a 1
2 = a 1
4 · a 1
4 = (− 4√ a) · (− 4√ a) = 4√ a · 4√ a = 2√ a = −a 1
2 .
eine beliebige rationale Zahl, so definiert man:
a s 1 p·
= a q = (a 1
q ) p = � q √ a �p = (a p ) 1
q = q√ a p
Beachte, dass wegen des Auftretens von Wurzeln ab hier die Menge R der reellen Zahlen als
Wertemenge der Potenz gesetzt werden muss.
Es stellt sich einmal mehr heraus, dass die drei Funktionalgleichungen erfüllt bleiben.
R + × R Wir stellen zwei Fakten zusammen:
– Die Menge Q + × Q liegt dicht in R + × R, das heißt zu jedem (a, s) ∈ R + × R existiert eine
Folge (an, sn) ⊆ Q + × Q, so dass
lim
n→∞ (an, sn) = (a, s).
– Die Abbildung
↑
ist stetig.
� Q + × Q → R
(a, s) ↦→ a s

S. Hilger, Didaktik der Algebra 41
Sie ermöglichen es, die Potenz auf R + × R in eindeutiger Weise fortzusetzen:
Für (a, s) ∈ R + × R setzen wir
a s := lim
n→∞ asn
n , wobei (an, sn) ⊆ Q + × Q mit lim
n→∞ (an, sn) = (a, s).
Aufgrund der Stetigkeit ist diese Definition unabhängig von der ausgewählten Folge.
Man kann leicht zeigen, dass die Funktionalgleichungen weiter richtig bleiben.
Steht die Exponentialfunktion
⎧
⎪⎨ R → R
exp
⎪⎩
+
x ↦→ exp(x) :=
∞�
k=0
x k
k!
und der natürliche Logarithmus ln : R + → R als ihre Umkehrfunktion zur Verfügung, so kann man
die Potenz auch definieren als
�
+ R × R → R
↑
.
(a, s) ↦→ exp(s · ln a)
Es lässt sich leicht zeigen, dass diese Definition mit der bisherigen übereinstimmt.
C ⊸ × C Die Definition über die Exponentialfunktion bietet den Zugang für eine weitere Erweiterung des
Definitionsmenge.
In der Theorie der komplexen Zahlen kann man aufzeigen, dass die Exponentialfunktion auch als
Funktion von komplexen Zahlen definiert werden kann:
⎧
⎪⎨ C → C
exp
⎪⎩
∗
∞� z
z ↦→ exp(z) :=
k
k!
k=0
Schränkt man dabei die Wertemenge C ∗ auf die längs der negativen Realteilachse aufgeschnittene
komplexe Ebene
C ⊸ := C \ R − 0
ein, so wird die Exponentialfunktion bijektiv. Die Umkehrfunktion
�
⊸ C
log
z
→
↦→
C
log(z)
heißt Hauptzweig des komplexen Logarithmus.
Man kann dann die Potenz für komplexe Zahlen definieren als
a s = exp(s log a), (a, s) ∈ C ⊸ × C
Damit ist beispielsweise auch der Ausdruck i i definiert. Es stellt sich heraus, dass dies eine reelle
positive Zahl ist:
i i = exp(i · log i) = exp(i · i π
2
π
) = exp(−π ) = e− 2 ≈ 0, 207 879 576.
2
Die Funktionalgleichungen sind in diesem Zusammenhang nur noch eingeschränkt gültig, bemüht
man die Theorie der ,,Überlagerungen der komplexen Ebene”, so kann man diese Einschränkung
wieder beseitigen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 42
Beim Versuch, auch die Potenz 0 0 sinnvoll zu definieren, stößt man auf die folgenden Ideen:
– Zunächst ist
0 s = 0
für alle s ∈ N, dann s = p
q ∈ Q+ , dann s ∈ R + . Aus Stetigkeitsgründen sollte also gelten:
0 0 = lim
s↘0 0 s = lim
s↘0 0 = 0.
– Andererseits ist aber
a 0 = 1 für a �= 0
woraus man folgern kann:
0 0 = lim a
•
a→0 0 = lim 1 = 1.
•
a→0 Es tritt also eine Mehrdeutigkeit auf: Die Potenz kann nicht stetig in den Punkt (0, 0) fortgesetzt
werden.
Übung: Berechnen Sie lim
x↘0 x x .
5.2 Kontextfelder
Algebra:
• Einfache Zahlpotenzen (insbesondere Zweier–Potenzen),
• b–adische Zahlsysteme,
• Potenzrechnen innerhalb des Termrechnens,
• Potenzrechnen innerhalb der Gleichungslehre.
Analysis:
• Potenzfunktion,
• Exponentialfunktion,
• Diskussion der Funktionsgraphen, (,,Kurven”).
Sachkontexte:
• Geometrische Summe: ,,Reiskörner auf dem Schachbrett”
• Zinseszins,
• Kombinatorik: Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge.
• Exponentielles Wachstum.
Geometrische Kontexte:
• Quadrate: Flächen von Quadraten, Kreisflächen,
• Kuben: Volumina von Würfeln, Kugeln.
•
Sonstiges:
• Wissenschaftliche Zahldarstellung: Astronomische Zahlen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 43
5.3 Schulpraktische Aspekte
Während die erste grundlegende Definition (auf N × N) noch relativ konkret–anschaulich ist, beruhen die
Erweiterungen auf innermathematischen algebraischen Überlegungen.
Da dann in diesem erweiterten Zusammenhang die Regeln des Potenzrechnens (die drei Funktionalgleichungen)
nur formal–verordnet empfunden werden, ergeben sich Lernschwierigkeiten und typische
Fehlermuster.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 44
6 Funktionen
Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus der
veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt ist.
Johann Bernoulli, (ch, 1667 – 1748, 1718).
Steht eine Variable y so in Beziehung zu einer Variablen x, dass zu jedem numerischen Wert
von x gemäß einer Vorschrift ein eindeutiger Wert von y gehört, so heißt y eine Funktion der
unabhängigen Variablen x.
P.G. Lejeune Dirichlet (dt, 1805 – 1859, 1837).
Diese beiden Definitionen von Funktionen sind geprägt von dem syntaktischen bzw. semantischen Aspekt.
Die zweite Definition ermöglicht einen viel größeren Spielraum bei der Definition von Funktionen, so ist
beispielsweise die nirgends–stetige Dirichlet–Funktion f : R → R erst so ,,definierbar”.
f(x) :=
� 1, falls x ∈ Q,
0, falls x ∈ R \ Q.
6.1 Mathematische Fundierung
Es seien A und B zwei Mengen.
1. Für a ∈ A und b ∈ B definiert man das geordnete Paar als die Menge
� �
(a, b) := {a, b}, a .
Das wesentliche an dieser Definition ist, dass die so gebildete Menge den folgenden unscheinbaren,
aber bedeutungsvollen Satz erfüllt:
Es gilt (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c und b = d.
Ist der auf der obigen ,,umständlichen” Definition basierende Satz akzeptiert, so kann diese wieder
in den Hintergrund treten.
2. Das Kartesische Produkt (René Descartes, fr, 1596 – 1650) der Mengen A und B ist die Menge der
geordneten Paare:
� �
�
�
A × B := (a, b) � a ∈ A, b ∈ B .
3. Eine Relation R zwischen A und B ist eine beliebige Teilmenge von A × B.
Gut kann man das mit Hilfe eines Liniendiagramms (Venn–Diagramms) veranschaulichen:
A
✉
✉
✉
✉
✉
.
.
✉
✉
.
✉
Zwischen einem Element a ∈ A und einem Element b ∈ B wird genau dann eine Linie gezogen,
wenn (a, b) ∈ R.
B
.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 45
4. Eine Relation zwischen A und B heißt
(♣) links–total,
(♠) rechts–eindeutig,
(♥) rechts–total,
(♦) links–eindeutig,
wenn für jedes
Im Diagramm veranschaulicht heißt dies: In
✉ . .
✉ .
. ✉
A B
(♣) ist verletzt
✉ . .
✉ .
. ✉ .. .
A B
(♥) ist verletzt
✉
✉
✉
✉
✉
✉
a ∈ A mindestens ein b ∈ B
a ∈ A höchstens ein b ∈ B
b ∈ B mindestens ein a ∈ A
b ∈ B höchstens ein a ∈ A
.
.
a ∈ A startet mindestens
a ∈ A startet höchstens
b ∈ B endet mindestens
b ∈ B endet höchstens
.
existiert, so dass (a, b) ∈ R.
eine Linie.
✉ . .
✉ .
. ✉ . .
A B
(♠) ist verletzt
✉
.
.
.
.
✉ .
✉ . .
A B
(♦) ist verletzt
5. Eine Relation zwischen A und B heißt Funktion, wenn sie links–total und rechts–eindeutig ist: Zu
jedem a ∈ A existiert genau ein b ∈ B, so dass (a, b) ∈ R.
In diesem Zusammenhang heißt A Definitionsmenge und B Wertemenge der Funktion. Die Menge
� �
�
b ∈ B�
Es ex. a ∈ A, so dass
�
(a, b) ∈ R
heißt Bild(–menge) der Funktion.
Eine Funktion wird nicht mehr — wie bei der Definition als Relation mit speziellen Eigenschaften
naheliegend — als ein statisches Objekt aufgefasst, sondern eher dynamisch: Es geschieht eine
Zuordnung von Punkten b ∈ B zu Punkten a ∈ A. Dies wird auch in einer gänzlich veränderten
Notation deutlich:
�
A → B
f :
a ↦→ f(a)
f(a) ist dabei ein irgendwie gearteter mathematisch sinnvoller Ausdruck (Term, Textdefinition,
auch per Fallunterscheidung,. . . ).
6. Eine Funktion heißt
injektiv,
surjektiv,
bijektiv,
wenn sie zusätzlich
links-eindeutig
rechts-total
links-eindeutig und rechts-total
✉
✉
. .
✉
✉
✉
✉
ist.
.
.
.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 46
7. Im letzten Fall ist die Spiegelrelation
R −1 :=
� � �
�
(b, a) �(a, b) ∈ R ⊆ B × A
ebenfalls eine Funktion. Sie heißt Umkehrfunktion zu R.
Beispiele: Quadratfunktion, Wurzelfunktion.
6.2 Schulische Praxis
Die Definition erfolgt heute nicht mehr über den viel zu abstrakten Relationsbegriff, sondern anschaulich:
Es seien D und W zwei Mengen. Eine Vorschrift, die
• jedem Element aus D
• genau ein Element aus W
zuordnet, heißt Funktion von D nach W.
Es handelt sich also letztlich um einen Ettikettenschwindel: Der Ausdruck ,,Vorschrift” ist ja genauso
wenig definiert wie der Begriff ,,Funktion”.
Einige Kommentare:
• Die Mengen sind Teilmengen (meist: Intervalle) des aktuellen Zahlbereichs (Q, R oder C). (In der
Geometrie tritt ebenfalls der Funktionsbegriff (als Abbildungsbegriff auf, hier sind die zugrundeliegenden
Mengen Teilmengen der ,,Zeichenebene”). Die Elemente der Definitionsmenge werden
praktisch immer mit dem Buchstaben x und die der Wertemenge mit y bezeichnet. (Vor- und
Nachteile)
• In der Notation wird die Mengenebene unterdrückt. Man schreibt also nur
f : x ↦→ f(x)
• Einige besondere Bezeichnungen seien anhand des Beispiels f(x) = 2x 2 − 5 erklärt:
• Funktionsvorschrift: x ↦→ 2x 2 − 5.
• Funktionsterm: 2x 2 − 5.
• Funktionsgleichung: y = 2x 2 − 5.
• Hinsichtlich des Begriffs der Definitionsmenge treten Inkonsistenzen auf. In der allgemeinen Einführung
des Funktionsbegriffs tritt die Definitionsmenge — korrekt — als vorgegebenes Objekt auf.
In der Praxis muss dann immer die (maximale) Definitionsmenge aus dem Funktionsterm f(x) als
Teilmenge einer Grundmenge (R) bestimmt werden (Nenner dürfen nicht Null, Radikanden nicht
negativ sein, Logarithmusargumente müssen positiv sein,. . . ).
• In der Schulpraxis tritt nur der Begriff der Wertemenge, nicht der der Bildmenge in Erscheinung.
In der Analysis der Oberstufe wird die Wertemenge immer auf der Grundlage der Definitionsmenge
und des Funktionsterms als Teilmenge von R bestimmt. Das Problem der Surjektivität bleibt
ausgeklammert. Die Frage der Umkehrbarkeit einer Funktion ist auf das Problem der Injektivität
reduziert.
Insgesamt tritt hier ein in der Schulmathematik häufiger zu beobachtendes Phänomen auf:
Es werden Begriffe vermeintlich exakt eingeführt. Beim langfristigen Umgang mit ihnen werden sie aber
— aufgrund Zweckmäßigkeit, Unwissenheit, Schülerüberforderung, Vermeidung von Penibilität oder Pathologien
— in abgewandelter oder verschleierter Bedeutung benutzt.
Beispiele: Begriff der Definitionsmenge, Wertemenge, Äquivalenz von Termen. Dieses Dilemma tritt auch
in der Analysis der Oberstufe (Kurvendiskussion) auf.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 47
6.2.1 Der Funktionenfundus der Gymnasialmathematik
Folgende Funktionen werden — gemäß Lehrplan — in den angegebenen Jahrgangsstufen eingeführt. Der
Begriff Funktion tritt erst in 8/9 in Erscheinung.
FUNKTIONEN IN DER ALGEBRA:
6 Direkte und indirekte Proportionalität.
8 Lineare und abschnittsweise lineare Funktionen.
9 Quadratische und Wurzelfunktionen, Betragsfunktion.
10 Potenz, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen.
11 Polynomfunktionen, Abschnittsweise definierte Funktionen, Zusammengesetzte Funktionen.
11, Additum Gauß–Klammer (größter Ganzzahlanteil), Signumfunktion, Funktionen aus der Informatik (Portofunktion).
12 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion.
13 Rationale Funktionen.
LK Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
ABBILDUNGEN IN DER GEOMETRIE:
7 Punkt- und Achsenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen, allg. Kongruenzabbildungen.
9 Zentrische Streckung, Raumgeometrische Abbildungen.
13 Affine und lineare Abbildungen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 48
6.2.2 Darstellung von Funktionen als Graphen
Wert
y
1
Wertemenge
. .
.
.
.
.
...............
1
.
x
Stelle
Definitionsmenge
.
• Die Definitionsmenge wird als (Teilmenge der) Rechtswertachse (horizontale Achse, x–Achse) aufgefasst.
• Die Wertemenge wird als (Teilmenge der) Hochwertachse (vertikale Achse, y–Achse) aufgefasst.
• Die graphische Darstellung der Funktion geschieht dadurch, dass jeder Punkt (x, y) der Relation
im Koordinatensystem markiert wird. Damit ist
�
Gf = P (x, y) ∈ E � �
� x ∈ D ∧ y = f(x) ⊆ D × W.
Damit ist der Graph einer Funktion f im streng mengentheoretischen Sinn gleich dieser Funktion.
• Der � Graph hat mit jeder vertikalen Gerade durch eine Stelle der Definitionsmenge
mindestens (↔ linkstotal)
einen, d.h. genau einen, Punkt gemeinsam.
höchstens (↔ rechtseindeutig)
Bei der graphischen Darstellung tritt der ,,dynamische” Charakter der Funktion (Zuordnung) in den
Hintergrund, der Graph ist eher ein ,,statisches” Objekt.
Unterscheide die Begriffe
Symbol Begriff Element der . . . graphisch . . .
x Stelle Definitionsmenge Rechtswertachse
(x-Achse)
y Wert Wertemenge Hochwertachse
(y-Achse)
(x, y) Punkt Kart. Produkt Zeichenebene
(x, y)–Koordinatensystem
.
.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 49
6.3 Kontextfelder zur Exponentialfunktion
• Wachstum von Populationen:
– Bakterien, Pilzkulturen, Ameisen, Fischen, Weltbevölkerung.
– Ausbreitung von Krankheiten
– Weltbevölkerung,
• Preissteigerungen: Lohnerhöhung, Mieterhöhung,
• Physik:
– Barometrische Höhenformel,
– Radioaktiver Zerfall
– Modellversuch: Bierschaum–Zerfall
– Kondensator–Auf- oder Entladung.
– Größe der Kohlendioxidbläschen im Sektglas.
• Wirtschaft, Geld:
– Zinseszins
– Dynamisches Sparen, Lebensversicherung
– Legende von den Reiskörnern auf dem Schachbrett
• Kettenbrief–Aktionen.
• Experiment: Stochastische Münzen–Vermehrung (Vgl. XQuadrat 10).

S. Hilger, Didaktik der Algebra 50
7 Sachrechnen
Sachrechnen . . .
• ist im allgemeinen sehr unbeliebt. Schüler reagieren auf die Ankündigung von Sachrechnen mit
Mißmut.
• offenbart gerade die ,,anwendungsorientierte” Seite von Mathematik.
• gibt eigentlich am ehesten eine Antwort auf die von Schülern geäußerte Frage ,,Wozu brauchen wir
das alles?” versucht.
• lässt sich nur schwer algorithmisieren. Das stellt sich für eher schwache Schüler als problematisch
dar. Typischerweise lässt sich der Taschenrechner nicht einsetzen.
• erfordert flexible oder ungewöhnliche Strategien bis hin zur Anwendung von Tricks und Kniffs.
• durchzieht alle Schularten, Jahrgangsstufen und mathematischen Teilgebiete.
• transportiert unterschwellig Einstellungen und Informationen (Geschlechter- oder Schichtenproblematik,
Lebensgewohnheiten (drei Flaschen Bier,. . . ))
• wird in der öffentlichen Diskussion (Bsp. TIMSS, PISA) um den Mathematikunterricht im Sinne
von Prinzipien wie Lebensnähe, Problemorientierung verstärkt angemahnt.
7.1 Mathematische Modellbildung
Das Grundprinzip der Wechselwirkung zwischen Wirklichkeit und Mathematik lässt sich anhand des
folgenden Diagramms erfassen:
.
Offenes Sachproblem Offenes Mathematisches Problem
Klärung
.
.
Mathematisierung
.
Geklärtes Sachproblem Gelöstes Mathematisches Problem
.
Interpretation
.
.
.
Lösung
Die Lösung eines Problems der Wirklichkeit (linker Down–Pfeil) wird gemäß diesem Diagramm
ersetzt durch drei Schritte
1 Mathematisierung
2 Mathematisches Operieren
3 Interpretation (Aus der Sicht der Mathematik: Anwendung)

S. Hilger, Didaktik der Algebra 51
angegangen.
Die Mathematisierung wird, je nach Situation, durch verschiedene spezielle Prozesse, realisiert:
Wirklichkeit . Mathematisierung Mathematik
Sachzusammenhang . Modellbildung Mathematisches Modell
Anzahl (Kardinalität) . Abzählen Natürliche Zahl
Größe . Messen Maßzahl (B, Q, Z, R, C, H)
Wettbewerbssituation . ,,Ranking” Lineare Ordnung
Hierarchien . . Halbordnung
Kategorien . .
Äquivalenzrelation
Punkte der Zeichenebene . Koordinatensystem Zahlenpaare
Daten . . Zufallsvariable auf W–Raum
Die Mathematisierung ist selbst nicht Gegenstand der Mathematik mit
ihren
Einige Zitate
• mathematischen Inhalten (Analysis, Algebra, Geometrie, Zahlentheorie, Stochastik,
. . . ) und
• spezifischen Arbeitsweisen (Fassung objektiver Begriffe, streng–logisches Schließen,
rigoroses Beweisen, exaktes Rechnen, . . . )
• ,,Is’ doch logisch!”
• ,,Zahlen lügen nicht.”
• ,,Ich glaube nur an die Statistik, die ich selbst gefälscht habe.”
• ,,Es ist mathematisch erwiesen, dass Deutschland bei PISA 2003/Mathematik den 16.
Platz belegt.”
Für eine gute Mathematisierung sind eine geeignete Erfassung der Wirklichkeit, eine Kenntnis
der mathematischen Modell–Palette, nicht zuletzt Übung und Erfahrung für das Zusammenspiel
notwendig.
Für den gleichen Sachverhalt der Wirklichkeit kann es viele verschiedene mathematische Modelle
geben. Dies geschieht z.B. aufgrund . . .
• unterschiedlicher Intentionen hinsichtlich Genauigkeit,
• unterschiedlicher Intentionen hinsichtlich Auswirkungen, (B: Personalwahlrecht, Verhältniswahlrecht)

S. Hilger, Didaktik der Algebra 52
• isomorpher (gleich–strukturierte) mathematischer Theorien
• verschiedene Einheiten,
• verschiedene Koordinatensysteme,
• Zuordnung zu Variablen (B: x als die Zahl der Hasen oder die Zahl der Fasane.
• unterschiedlicher Konventionen:
Umgekehrt kann das gleiche mathematische Modell verschiedenste Sachzusammenhänge modellieren:
• Beim Zählen von Äpfeln oder Zählen von Birnen wird das gleiche mathematische Modell
benutzt, die natürlichen Zahlen.
• Schwingungen einer Schraubenfeder, eines Fadenpendels, der Kondensatorladung in einem
elektrischen Schwingkreis, . . . werden alle durch die gleiche Differentialgleichung modelliert.
• Der Begriff des Grenzwerts liegt unzähligen verschiedenen Sachverhalten aus der Wirklichkeit
zugrunde.
Es gehört mit zum Wesen der Mathematik, Analogien und Diskrepanzen in solchen Modellen
aufzuspüren.
Manchmal spielt bei der Modellbildung die mathematische Zweckmäßigkeit eine Rolle:
• Populationen (z.B. von Ameisen) werden durch reelle Zahlen beschrieben.
• Kontinuierliche Größen (Zeit) werden durch diskrete Größen (Folge von Zeitpunkten) beschrieben,
weil man dann Rechner einsetzen kann.
• Idealisierung (Physik): Vernachlässigung von Reibung, Ausdehnung eines Körpers, Eigengewicht
u.ä.
7.2 Sachrechnen
Das Sachrechnen lässt sich als schulisches Abbild des oben beschriebenen Problemlöseprozesses
auffassen. Es dient dem Erlernen dieses Prozesses.
Auf der Grundlage des obigen Diagramms lassen sich auch die Lernziele bzgl. des Sachrechnens
geordnet darstellen:
• Die Schüler/innen sollen fähig sein, die uns umgebende ,,Sachwelt” mit Hilfe
mathematisch–strukturieren Denkens zu verstehen und sie mit Hilfe mathematischer Modelle
beschreiben.
• Die Schüler sollen einen Einblick gewinnen, wie Mathematik zur Lösung von Fragestellungen
aus der Sachwelt angewandt werden kann.
• Die Schüler/innen sollen einsehen, dass zahlreiche mathematische Theorien Modelle für
Sachsituationen darstellen.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 53
7.3 Typen von Sachaufgaben
• Eingekleidete Mathematikaufgabe: Karlas Vater ist doppelt so alt wie ihr Bruder,. . . . . . .
Wie alt ist Karla?
• Rätselaufgabe, Denksportaufgabe, Scherzaufgabe: Welche Farbe hatte der Bär?
• Echte Sachaufgabe, Stark simplifizierte Sachverhalte, Grad der Komplexität.
• Direkte oder offene Fragestellung.
• Spezielle Namen: Mischungsaufgaben, Röhrenaufgaben, Geschwindigkeitsaufgaben, Pfahlaufgaben,
Bewegungsaufgaben (vgl. DidKoll 2001).
• Eine Textaufgabe ist allgemeiner eine als Text gestellte Mathematikaufgabe. Diese muss
nicht notwendig einen Sachbezug enthalten. Beispiel: Welche Zahl muss von 27 541 subtrahieren,
um 9 616 als Ergebnis zu erhalten?
• Tabellenkalkulation.
Die den Sachaufgaben zugrundeliegenden Probleme sollten . . .
• Situationen aus der (weiteren) Schülerwelt entstammen,
• phantasievoll, abwechslungsreich, assoziationsreich sein,
• klar formuliert werden,
• die Notwendigkeit einer Mathematisierung unmittelbar einsichtig machen.
7.4 Simplexe und Komplexe
Simplexe sind Sachverhalte, in denen drei Größen additiv oder multiplikativ verknüpft sind.
Beispiele:
• Länge — Breite — Fläche(ninhalt).
• Einkaufspreis — Gewinn — Verkaufspreis.
• Stückzahl — Stückpreis — Gesamtpreis.
• Wegstrecke — Zeitspanne — Geschwindigkeit.
• El. Stromstärke — Spannung — El. Widerstand.
Komplexe sind Sachverhalte, in denen zwei oder mehrere Simplexe über ihre Komponenten
verknüpft sind.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 54
7.5 Die Problemlösung im einzelnen
7.5.1 Die Mathematisierung des Problems
Verstehen des Sinngehalts des Problems im Überblick:
• Sprachliche Besonderheiten:
– höchstens, maximal, mindestens, wenigstens, minimal.
– Steigerung auf oder um das Dreifache.
– Dutzend, durchschnittlich.
– Mathematisch: Quersumme.
– Geschäftsleben: Netto, Brutto, Tara, Ratenzahlung, Anzahlung, Geschäftskosten,
Umsatz, Gewinn, Rabatt, Skonto, Porto.
– Geographie, Orientierung im Raum: Luftlinie, Maßstab, horizontal, vertikal, Norden,
Südwesten, Höhe über NN, Uhrzeigersinn.
– Geschichte: Das 19. Jahrhundert.
– Biologie, Chemie: Tülle, Pipette.
– Freizeit
∗ In einer Fußballliga finden 240 Spiele statt. Wie viele Mannschaften gehören zur
Liga?
∗ Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Schafkopf einen ,,Sie” zu erhalten?
• Konventionen: Das Bankjahr hat 360 Tage, der Bankmonat hat 30 Tage. Der aktuelle
MWSt.-Satz.
• Kontexte: Bei einem elektrischen Anschluss wird auch eine Rückleitung benötigt.
Beim Weißeln eines Zimmers muss auch die Decke mitberechnet werden.
• Verstehen von Skalen, Diagrammen, Grafiken, Tabellen, Übersichten.
• Verschleierte Informationen: Zahlen sind im Text oder in der Grafik versteckt: ,,halb so
viel”, die abgebildete Eintrittskarte kann sechsmal entwertet werden.
• Informationen aus anderen Quellen: Lehrer, eigene Messung (Gewicht einer Münze), DB-
Fahrplan, Katalogen.
• Überflüssige, redundante oder irreführende Informationen: Wie alt ist der Kapitän?
Schulpraktisch – konkret:
• Lies den Text genau durch! Nacherzähle (Nachspiele, Nachstelle.. . . ) den Sachverhalt! Extrahiere
die wichtigen Daten und ordne sie!
• Gegeben (Wir wissen)
Eventuell können Größenwerte gleich in geeignete Einheiten umgewandelt werden.
Vielleicht ist es sinnvoll, unmittelbar verknüpfte Größen (Radius – Durchmesser, Bruchteil
– Prozentsatz) gleich umzurechnen.
Unter Umständen ist es sinnvoll, die gegebenen Größen in einer Tabelle anzuordnen.
• Gesucht (Wir suchen) Bei Vorliegen einer Tabelle (s.o.) wird die gesuchte Größe in einem
freien Feld mit einem Fragezeichen gekennzeichnet.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 55
7.5.2 Das mathematische Operieren
Es muss der richtige Pfad innerhalb des Komplexes — von Simplex zu Simplex — gefunden
werden (Bild des Dschungels).
Strategien:
1. Tastend, Suchend: Ausgehend vom Standort werden zunehmend immer neue und weitere
Pfade erschlossen, bis das Ziel — mehr oder weniger zufällig — gefunden ist.
2. Zielgerichtet: Der Pfad ist im wesentlichen — von ähnlichen Touren, aufgrund von Karten,.
. . — bekannt und kann so gezielt beschritten werden.
3. Mischstrategien: Ein Teil der Pfade (in der Umgebung des Standorts oder des Ziels) ist
bekannt, die fehlenden Zwischenpfade werden durch Suchen erschlossen.
4. Mosaiktechnik.
5. Brückentechnik (vgl. MathSemBer 47/2, S. 198).
Die Rolle des Lehrers beim Auffinden solcher Pfade: Begleitend — stimulierend — darbietend
— informierend.
Zentral wichtig ist das ständige Vorhalten der Wechselbeziehung von
Wirklichkeit und Mathematik entlang des Lösungspfades.
Konkret geschieht dies beispielsweise durch Zwischenantwortsätze (evtl. in Stichworten).
Präsenthalten der Einheiten
• Wo sie nur Schreibballast sind, können sie weggelassen werden.
• Wenn Umwandlungen von Größenwerten (bzgl. der Einheiten) auftreten, ist die Angabe
von Einheiten unverzichtbar.
• In (Zwischen-)Antwortsätzen müssen Einheiten angegeben werden.
• Die Durchdringung des Einheitenrechnens ist eventuell noch nicht möglich. Beispiel:
Ein Liter Benzin (Bleifrei Super) kostet 1, 26 ∈. Wieviel muss Mercedes Benz für
43 ℓ bezahlen? (Jgst. 5)
Falsch: 43 ℓ · 1, 26 ∈ = 54, 18 ∈
Richtig: 43 ℓ · 1, 26 ∈
ℓ
= 54, 18 ∈
Ähnlich bei Geschwindigkeitsaufgaben: Falsch:
15 km
5
15 km
= 3 h. Richtig:
5 km = 3 h.
h
Problem: Das Kürzen ist Inhalt des Bruchrechnens. Insgesamt ist das Kürzen von Einheiten
ein abstrakter Vorgang (In etwa ab 8. Jgst.)
Lösung: Weglassen der Einheiten in der Berechnung. Angabe der Einheiten im Antwortsatz.

S. Hilger, Didaktik der Algebra 56
7.5.3 Interpretation
• Sinnvoller Zahlbereich: Negatives Lebensalter, Bruchzahl als Anzahl, Zehntelpfennig (beim
Tanken, Zinsberechnung).
• Das Problem des Rundens.
• Sinnvolle Größenordnung (Astronomische Kosten beim Einkauf,. . . ), (Auch begleitendes
Überschlagsrechnen).
• Aussortieren von Lösungen: Beispielsweise bei quadratischen Gleichungen.
• Antwortsatz: Achte auf die genaue Fragestellung!

S. Hilger, Didaktik der Algebra 57
7.5.4 Mathematisierung von Sachsituatioen durch Gleichungen
Mögliche Schrittfolge:
V (Variable). Welches ist die genaue Bedeutung der (unbekannten) Variablen?
T (Terme) Mit Hilfe der Variable und der Daten der Aufgabe werden Terme gebildet (vielleicht
in einer Tabelle).
G (Gleichung) Die Aufgabe beinhaltet eine Information über Gleichheit (oder Vielfachheit)
von Termen. Dies wird in Form einer Gleichung zwischen diesen Termen mathematisiert.
L (Lösung) Dies ist ein innermathematisches Problem.
A (Antwort) Vergleiche unten: Interpretation.
P (Probe) Eventuell empfiehlt sich eine Probe innerhalb des Kontexts der Sachaufgabe.
Beispiel 1 Maria ist 24 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt, wie Anne war, als Maria so alt war,
wie Anne jetzt ist. Wie alt ist Anne? (Gesellschaftliches Ereignis, New York, 20er Jahre).
V x ist das jetzige Alter von Anne in Jahren.
T Maria Anne
jetzt 24 x
früher x x − (24 − x)
Die bei ,,Anne früher” abzuziehende Zeitspanne 24 − x ergibt sich aus den beiden Termen
bei Maria.
�
�
G 24 = 2 · x − (24 − x)
L
�
�
24 = 2 · x − (24 − x)
� �
24 = 2 · 2x − 24
24 = 4x − 48
72 = 4x
x = 18
A Anna ist jetzt 18 Jahre alt.
P Maria Anne
jetzt 24 18
früher 18 12