Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 46
7. Im letzten Fall ist die Spiegelrelation
R −1 :=
� � �
�
(b, a) �(a, b) ∈ R ⊆ B × A
ebenfalls eine Funktion. Sie heißt Umkehrfunktion zu R.
Beispiele: Quadratfunktion, Wurzelfunktion.
6.2 Schulische Praxis
Die Definition erfolgt heute nicht mehr über den viel zu abstrakten Relationsbegriff, sondern anschaulich:
Es seien D und W zwei Mengen. Eine Vorschrift, die
• jedem Element aus D
• genau ein Element aus W
zuordnet, heißt Funktion von D nach W.
Es handelt sich also letztlich um einen Ettikettenschwindel: Der Ausdruck ,,Vorschrift” ist ja genauso
wenig definiert wie der Begriff ,,Funktion”.
Einige Kommentare:
• Die Mengen sind Teilmengen (meist: Intervalle) des aktuellen Zahlbereichs (Q, R oder C). (In der
Geometrie tritt ebenfalls der Funktionsbegriff (als Abbildungsbegriff auf, hier sind die zugrundeliegenden
Mengen Teilmengen der ,,Zeichenebene”). Die Elemente der Definitionsmenge werden
praktisch immer mit dem Buchstaben x und die der Wertemenge mit y bezeichnet. (Vor- und
Nachteile)
• In der Notation wird die Mengenebene unterdrückt. Man schreibt also nur
f : x ↦→ f(x)
• Einige besondere Bezeichnungen seien anhand des Beispiels f(x) = 2x 2 − 5 erklärt:
• Funktionsvorschrift: x ↦→ 2x 2 − 5.
• Funktionsterm: 2x 2 − 5.
• Funktionsgleichung: y = 2x 2 − 5.
• Hinsichtlich des Begriffs der Definitionsmenge treten Inkonsistenzen auf. In der allgemeinen Einführung
des Funktionsbegriffs tritt die Definitionsmenge — korrekt — als vorgegebenes Objekt auf.
In der Praxis muss dann immer die (maximale) Definitionsmenge aus dem Funktionsterm f(x) als
Teilmenge einer Grundmenge (R) bestimmt werden (Nenner dürfen nicht Null, Radikanden nicht
negativ sein, Logarithmusargumente müssen positiv sein,. . . ).
• In der Schulpraxis tritt nur der Begriff der Wertemenge, nicht der der Bildmenge in Erscheinung.
In der Analysis der Oberstufe wird die Wertemenge immer auf der Grundlage der Definitionsmenge
und des Funktionsterms als Teilmenge von R bestimmt. Das Problem der Surjektivität bleibt
ausgeklammert. Die Frage der Umkehrbarkeit einer Funktion ist auf das Problem der Injektivität
reduziert.
Insgesamt tritt hier ein in der Schulmathematik häufiger zu beobachtendes Phänomen auf:
Es werden Begriffe vermeintlich exakt eingeführt. Beim langfristigen Umgang mit ihnen werden sie aber
— aufgrund Zweckmäßigkeit, Unwissenheit, Schülerüberforderung, Vermeidung von Penibilität oder Pathologien
— in abgewandelter oder verschleierter Bedeutung benutzt.
Beispiele: Begriff der Definitionsmenge, Wertemenge, Äquivalenz von Termen. Dieses Dilemma tritt auch
in der Analysis der Oberstufe (Kurvendiskussion) auf.