Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 20
• Leichteres Quadrieren
42 2 = (40 + 2) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 2 + 2 2 = 1764.
• Kopfrechentrick beim Quadrieren einer ,,Fünferzahl”:
Eine zweistellige Zahl mit Endziffer 5 wird quadriert, indem man die Zehnerziffer
mit der um 1 erhöhten Ziffer multipliziert, zwei Nullen anhängt und 25 addiert.
(x|5) 2 = (x · 10 + 5) 2 = x 2 · 100 + 2 · x · 10 · 5 + 25 = x(x + 1) · 100 + 25.
• Vereinfachtes schriftliches Quadrieren einer zweistelligen Zahl (Wegen Schreibtechnik *
statt ·)
47 * 47 = 76 * 76 = 31 * 31 =
--------- ---------- ----------
1649 4936 0901
56 84 06
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2209 5776 0961
• Der Unterschied zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen n 2 und (n+1) 2 ist n+(n+1).
Die Minus–Formel
Sie wird auch als 2. binomische Formel bezeichnet.
Zugang über den Flächenvergleich in einem Quadrat
a
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a
� �� �
b
b
Rechnerisch erhält man das durch Zurückführen auf die Grundformel.
(a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Alternative: Zurückführen auf die Plus–Formel:
(a − b) 2 = (a + (−b)) 2 = a 2 + 2a(−b) + (−b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Ein Problem stellt hier das Ersetzen der Variable b (in der Plusformel) durch (−b) dar.
Anwendung: Leichteres Quadrieren
49 2 = (50 − 1) 2 = 50 2 − 2 · 50 · 1 + 1 2 = 2401.