Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 38
4.3 Das Heron–Verfahren
Geometrische Idee: Quadratur des Rechtecks.
Beim Heronverfahren werden iterativ Intervalle [xn; yn] bestimmt, die eine Intervallschachtelung darstellen,
so dass die zu lokalisierende Quadratwurzel in jedem Intervall enthalten ist.
Mathematische Grundlegung: Es sei a > 0 eine fest gegebene Zahl. Zur Vereinfachung der Schreibweisen
führen wir für beliebige x ∈ R + das Symbol
Ix := � min{x, a a
}, max{x,
x x }�
für das durch x und a
x
Lemma:
begrenzte Intervall ein.
(i) Für jede beliebige Zahl x ≥ 0 gilt √ a ∈ Ix.
(ii) Es gilt die Implikation
y ∈ Ix =⇒ Iy ⊆ Ix.
Beweis (i) Durch Multiplikation mit √ a
x
x ≤ √ a =⇒ √ a ≤ a
x .
Dabei kann ≤ durch ≥ ersetzt werden.
(ii) Die erste Aussage ist gleichbedeutend mit:
x ≤ y ≤ a
x
oder
a
≤ y ≤ x.
x
entsteht die Implikation
Wir wenden die Operation a : auf diese Ungleichungen an und erhalten
a a
a a
≥ ≥ x oder x ≥ ≥
x y y x .
Also sind beide Grenzen des neuen Intervalls Iy im alten Intervall Ix enthalten. �
Auf dieser Beobachtung beruht das Heronverfahren zur Bestimmung von √ a. Dabei werden Intervalle
der obigen Form immer weiter verkleinert.
1. Eine Grenze x1 für das Anfangsintervall I1 = I(x1) wird frei gewählt.
2. Das jeweils folgende Intervall In+1 erhält man dadurch, dass man als eine neue Intervallgrenze den
Mittelwert der beiden alten wählt: In+1 := I(
a xn+ xn
2 ).
Aus den obigen Überlegungen folgt, dass die so definierte Folge eine Intervallschachtelung bildet:
• Es gilt: In+1 ⊆ In. (vgl. oben (ii)).
• Für die Intervalllängen gilt:
|In+1| < 1
· |In|.
2
Dies liegt daran, dass der Mittelwert der alten Intervallgrenzen eine neue Intervallgrenze bildet.
Die andere Intervallgrenze liegt ebenfalls innerhalb des alten Intervalls.
• Die Intervalllängen bilden also eine Nullfolge.