Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 26
Ä (Ä–Umformungen) Man versucht für die vielen Gleichungstypen entsprechende (Lösungs–
)Techniken zu entwickeln.
Der Syntax–Gedanke (Vorschriften, erlaubt, unerlaubt) tritt auf.
Beispiel einer Merkregel über das ,,Rüberbringen”:
Riwwer–ruff — niwwer–nunner.
Die Techniken sind zum Teil nicht zu durchschauen: Wie kommt zum Beispiel der Übergang von
der Variablen x
ax 2 + bx + c = 0
zu der doppel–deutigen Variablen x1,2 in der Lösungsformel
x1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac
2a
zustande? Was heißt ±?
Z (Zahl) Was ist die Rolle des umgebenden Zahlbereichs? Beispiel:
x 2 + 1 = 0
P (Praxis) Algebraische Aspekte stehen in Vordergrund.
3.2.2 Reform
G Mathematische Begriffsklärung im Rahmen der Logik und Mengenlehre:
Eine Gleichung ist eine Aussageform, die bei Einsetzungen von Elementen der Grundmenge
anstelle der Variablen in eine (wahre oder falsche) Aussage übergeht.
U Ungleichungen sind einfach nur eine Spielart von Aussageformen.
L Die Lösungsmenge ist die Erfüllungsmenge der Aussageform.
L :=
� �
�
x ∈ G�
Gleichung in
�
x
Die Grundmenge bildet den ,,Rahmen”.
Ä Gleichungen werden dadurch umgeformt, dass auf die beiden Terme auf der linken und der rechten
Seite die gleichen Abbildungen (Operationen) angewandt werden.
Dabei ändert sich — bei fest gegebener Grundmenge — im allgemeinen die Lösungsmenge Lv
(vorher) in eine Lösungsmenge Ln (nachher).
Eine Umformung heißt nun speziell . . .
– Gewinnumformung, wenn Ln ⊃ Lv.
(Beispiele: Multiplizieren mit der Variablen, Multiplizieren mit Null, Quadrieren, . . . )
Wird eine Gleichung mittels Gewinnumformungen gelöst, so muss man a posteriori die Elemente
der Lösungsmenge daraufhin testen, ob sie die Gleichung erfüllen (Probe!).
– Verlustumformung, wenn Ln ⊂ Lv. (Beispiele: Dividieren durch die Variable, Wurzelziehen,
Auflösen von Beträgen, . . . )
Alle Elemente der Lösungsmenge sind tatsächlich Lösungen, man kann sich aber nicht sicher
sein, alle Lösungen gefunden zu haben.
– Äquivalenzumformung, wenn Ln = Lv (siehe unten).
Z Der Begriff ,,Zahl” tritt gegenüber dem Begriff ,,Struktur” in den Hintergrund.