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S. Hilger, Didaktik der Algebra 30 3.5.1 Typische Fehler bei Äquivalenzumformungen von Gleichungen Beachte, dass im folgenden Fehler beschrieben werden. Die angegebenen Umformungen sind also keine (gültigen) Äquivalenzumformungen. • Fehler beim Rechnen mit Zahlen (aller Art)! • Fehler bei Termumformungen: Siehe dort! • Die Variable in einem Produktterm wird durch Subtraktion isoliert: � � 3x + 5 = 26 � − 3 ⇐⇒ x + 5 = 23 23(3x − 7) = 115 6x + 3 = 12 � � � − 23 ⇐⇒ 3x − 7 = 92 � � � − 5 ⇐⇒ x + 3 = 7 • Mangelnde Berücksichtigung des Distributivgesetzes: 2x + 3 = 4 � � � : 2 ⇐⇒ x + 3 = 2 • Vermeintliche Berücksichtigung des Distributivgesetzes: 25 · (x + 15) = 150 � � � : 5 ⇐⇒ 5 · (x + 3) = 30 • Zwei Schritte werden zugleich ausgeführt und dabei die Reihenfolge vertauscht: 6x 2 + 4x + 14 = −8x � � � + 8x :2 ⇐⇒ 3x 2 + 10x + 7 = 0 • Beim ,,Rüberbringen” treten Vorzeichenfehler auf: 6x 2 + 4x + 14 = −8x � � � + 8x ⇐⇒ 6x 2 − 4x + 14 = 0 (Das vorhandene Vorzeichen bei 8x wirkt zu stark.) • Fehler mit Null und Eins: 25 · x = 25 ⇐⇒ x = 0 (Die Operation · x auf der linken Seite ist ,,ohne Einfluss”, also muss x gleich Null sein.) 3x − 2 = 0 � � � + 2 ⇐⇒ 3x = 0 • Fehler im Zusammenhang mit Brüchen: 140 a + 70 = 35 x � � � : 35 ⇐⇒ 4a + 2 = x • Mangelndes Problembewußtsein um Gewinn- und Verlustumformungen. oder x 2 = 625 ⇐⇒ x = 25 |x − 2| = 27 ⇐⇒ x = 25 • Viele dieser Fehler treten verstärkt auf, wenn Parameter (Formvariable) anstelle von Zahlen in den Gleichungen auftreten. • Bei Ungleichungen: Falsche Berücksichtigung der Umkehr des Relationszeichens. • Mangelnde Unterscheidung von Mal–Punkten und Minuszeichen (Schrift).
S. Hilger, Didaktik der Algebra 31 3.6 Quadratische Gleichungen 3.6.1 Der Begriff Eine Gleichung, die sich — direkt oder nach einer Äquivalenzumformung — in der Form ax 2 �� + �� bx + �� c = 0, qu.G. l.G. k.G. mit (fest gegebenen Zahlen) a ∈ R \ {0}, b, c ∈ R schreiben lässt, heißt Quadratische Gleichung. Die Abkürzungen bedeuten quadratisches, lineares bzw. konstantes Glied. Die obige Form der Gleichung heißt Normalform oder Summenform der quadratischen Gleichung (im Gegensatz zur Scheitelform, eher geometrisch wichtig). 3.6.2 Beispiele • x 2 − 4x + 3 = 0 • 3x 2 + 7x − 36 = 28x − 25x 2 − 40 • (x − 25) 2 = 0 • x 2 = 36 • x · (x + 5) = 8 Ü1: Bestimme jeweils die Normalform und dann die drei Glieder! Ü2: Kannst Du Lösungen finden? Die Variable muss nicht unbedingt x sein. Auch 3y 2 + 5y − 12 = 0 ist eine quadratische Gleichung. 3.6.3 Lösungsverfahren anhand von Beispielen • 5x − 3 = 0 (Nicht–Beispiel) Die Sofort–Präsentation der Lösungsformel ist insofern ungünstig, als die Schüler/innen den Eindruck erhalten, dass sie fertige Werkzeuge einfach nur benutzen sollen und sie ,,sowieso” keine Einsicht in ihr Zustandekommen erfahren können. Ein Vorschlag: Von einfachen zu schwierigen Beispielen. (Die Kennzeichen der einzelnen Schritte sollen in der Schulpraxis nicht angegeben, sondern jeweils bestimmt werden). Beispiel 1: b = 0, a = 1, c beliebig. • x 2 − 25 = 0 =⇒ L = {−5; +5} • x 2 − 12 = 0 =⇒ L = {− √ 12; + √ 12} • x 2 = 0 =⇒ L = {0} • x 2 + 9 = 0 =⇒ L = {} Beispiel 2: b = 0, a, c beliebig . • 9x 2 − 25 = 0 =⇒ L = {− 5 ; +5 3 3 }
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