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S. Hilger, Didaktik der Algebra 36 • Das steht im Widerspruch dazu, dass p n und q n teilerfremd sind. Bemerkung: Beiden Beweisen liegen etwas tiefergehende Sätze über Zahldarstellung zugrunde: Die Existenz und Eindeutigkeit der Primzahldarstellung bzw. die Existenz und Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung von natürlichen Zahlen. Überlege: Für eine Zahl n ∈ N sind die folgenden Aussagen äquivalent: • n ist eine Quadratzahl, das heißt es gibt eine natürliche Zahl m, so dass m 2 = n. • Es gibt eine rationale Zahl p q mit ( p q )2 = n. In der Schule könnte man sich das folgende Vorgehen (innerhalb einer längeren Unterrichtssequenz oder eines kleineren Projekts) vorstellen. Einstieg: Wir suchen eine rationale Zahlen p (dabei sind also p und q natürliche Zahlen), deren Quadrat q gleich zwei ist. Durch Raten: � �2 14 10 � �2 1387 981 = 142 196 = = 1, 96 102 100 = 142 196 = ≈ 1, 999 102 100 Wettbewerb: Wer hat die zwei Zahlen p und q ermittelt, so dass Einsatz von Taschenrechner oder Computer. � �2 p am nähesten bei der Zahl 2 liegt? q Es stellt sich im Laufe der Zeit heraus, dass niemand zwei Zahlen finden kann, so dass (Wenn doch: Belohnung 1000 ∈). Hat dies einen tieferen Grund? � � �2 p = 2 ist. q Zusatzfrage: Gibt es zwei rationale Zahlen (Brüche), für die das Quadrat des Quotienten gleich 2 ist?
S. Hilger, Didaktik der Algebra 37 4.2 Intervallschachtelungen 4.2.1 Mathematische Grundlegung Definitionen: 1. Eine Folge (In)n∈N von Intervallen In = [an, bn] ⊆ Q, n ∈ N, heißt Intervallschachtelung (auf Q), wenn • In+1 ⊆ In für alle n ∈ N. • limn→∞ In = limn→∞(bn − an) = 0. 2. Eine Intervallschachtelung (In)n∈N heißt feiner als eine andere Intervallschachtelung (Jn)n∈N, wenn zu jedem n ∈ N ein m ∈ N existiert, so dass In ⊆ Jm. 3. Auf der Menge I(Q) der Intervallschachtelungen von Q definieren wir eine Relation (In)n∈N ∼ (Jn)n∈N durch die folgende Eigenschaft: (In)n∈N ist feiner als (Jn)n∈N und (Jn)n∈N ist feiner als (In)n∈N. 4. Die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich dieser Äquivalenzrelation heißt die Menge der reellen Zahlen R. Bemerkungen • Die Relation ,,feiner” ist reflexiv und transitiv und damit eine Quasiordnung. Sie ist nicht antisymmetrisch. Ganz allgemein kann man einer Quasiordnung � durch die obige Symmetrisierung eine Äquivalenzrelation zuordnen. • Andere Verfahren zur Vervollständigungs–Konstruktion der reellen Zahlen beruhen auf den Begriffen der . . . – Cauchy–Folgen: Vervollständigung beliebiger metrischer Räume oder – Dedekind’schen Schnitte: Vervollständigung beliebiger geordneter Mengen, – q–adische Entwicklungen: Nicht–periodische Entwicklungen stehen für reelle Zahlen (Oft in der Schulpraxis). 4.2.2 Schulische Umsetzung Natürlich sind die obigen Formulierungen zu abstrakt–formal gehalten, als dass sie in der Schule präsentiert werden könnten. Eine Abschwächung (,,Elementarisierung”) könnte wie folgt geschehen: 1. Es seien Intervalle I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], I3 = [a3, b3], . . . mit a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . . ∈ Q vorgegeben. Man spricht von einer Intervallschachtelung, wenn • jedes dieser Intervalle in dem Vorgängerintervall enthalten ist, d.h. an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn und • die Längen der Intervalle immer kleiner werden und sich dabei immer mehr dem Wert Null annähern. 2. Jede Intervallschachtelung legt eindeutig eine Zahl fest. 3. Die Menge der so festgelegten Zahlen heißt die Menge der reellen Zahlen. Grundsatzproblem in der Schule: Intervallschachtelungen werden als Näherungsverfahren, nicht als Konstruktionsverfahren verstanden. Dieser Eindruck wird noch verstärkt dadurch, dass bei der Umsetzung in Beispielen meist dezimale (taschenrechnergestützte) Intervallschachtelungen vorgenommen werden.
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