Didaktik der Algebra - Die Seiten der

S. Hilger, Didaktik der Algebra 40
Die Multiplikation mit a 0 verändert die Zahl a s �= 0 nicht. Es muss also
sein.
a 0 = 1
Es stellt sich heraus, dass die drei Funktionalgleichungen bei dieser Erweiterung der Definitionsmenge
erfüllt bleiben.
Q ∗ × Z Zur Aufrechterhaltung der zweiten Funktionalgleichung muss beim Auftreten von negativen Exponenten
gelten
a s · a −s = a s+(−s) = a 0 = 1, (a, s) ∈ Q ∗ × N.
Man kann daher sinnvoll definieren
a −s := 1
=
as 1
.
a
�
· .
��
. . · a
�
s–mal
Es stellt sich heraus (Beweis), dass die drei Funktionalgleichungen erfüllt bleiben.
Q + × Q Es sei s = 1
n ∈ Q der Kehrwert einer natürlichen Zahl. Es muss aufgrund der FG III dann gelten:
(a 1
n ) n = a 1
n ·n = a 1 = a.
Nachdem also die n–te Potenz von a 1
n gleich a ist, ist es sinnvoll zu definieren:
a 1
n = n√ a.
Für gerades n könnte man hier auch a 1
n = − n√ a setzen, diese Vorgehensweise führt
jedoch wegen der anderen Funktionalgleichungen in Schwierigkeiten, beispielsweise so:
Ist jetzt s = p
q
a 1
2 = a 1
4 · a 1
4 = (− 4√ a) · (− 4√ a) = 4√ a · 4√ a = 2√ a = −a 1
2 .
eine beliebige rationale Zahl, so definiert man:
a s 1 p·
= a q = (a 1
q ) p = � q √ a �p = (a p ) 1
q = q√ a p
Beachte, dass wegen des Auftretens von Wurzeln ab hier die Menge R der reellen Zahlen als
Wertemenge der Potenz gesetzt werden muss.
Es stellt sich einmal mehr heraus, dass die drei Funktionalgleichungen erfüllt bleiben.
R + × R Wir stellen zwei Fakten zusammen:
– Die Menge Q + × Q liegt dicht in R + × R, das heißt zu jedem (a, s) ∈ R + × R existiert eine
Folge (an, sn) ⊆ Q + × Q, so dass
lim
n→∞ (an, sn) = (a, s).
– Die Abbildung
↑
ist stetig.
� Q + × Q → R
(a, s) ↦→ a s