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Vom Leser wird erwartet, die zahlreichen und unverzichtbaren Übungsbeispiele
zu lösen. Für einige kompliziertere Beweise und umfangreichere
Ausführungen verweist der Autor auf Bell/Machover: A Course in Mathematical
Logic, 1977 (siehe IMN 118, Seite 34). Einige Beweise haben nur
drei Buchstaben: DIY (soll wohl ”
Do it yourself“ heißen). P. Teleč (Wien)
Marx M. — Pólos L. — Masuch M.: Arrow Logic and Multi-Modal
Logic. (Studies in Logic, Language and Information.) CSLI Publications,
Stanford - FoLLI (The European Association for Logic, Language and
Information) 1996, XIV+247 S. ISBN 1-57586-024-4, brosch. £ 14,95,
ISBN 1-57586-025-2 geb. £ 40,–.
Die Arrow Logic“ (es ist anzunehmen, daß dieser Name ebenso ins Deutsche
übernommen ”
werden wird wie Fuzzy Logic“) wurde konzipiert von
Benthem und Venema (1991). Sie ist der ”
modale Zugang zu einer allgemeinen
Logik der Übergänge (modelliert durch Pfeile). Eine Aussage bedeutet eine
Menge von Pfeilen; die aussagenlogische Sprache enthält die neuen intensionalen
Junktoren Zusammensetzung“ und Inverse“ sowie die Konstante
Identität“ (wie bei ”
Relationenalgebren). Die ”
vielleicht nächstliegende Semantik
der Pfeile als Elemente eines kartesischen Produkts U × U ist leider
”
unentscheidbar und nicht endlich axiomatisierbar. Arrow Logic sucht nach
Semantiken mit angenehmeren Eigenschaften. Dies resultiert in schwächeren
Logiken, die aber oft für Anwendungen besser geeignet sind. Seit der
ersten Tagung im Rahmen der Logic at Work Conference (1992) sieht man
die Arrow Logic als Teil eines allgemeinen Programms namens Arrow Logic
Analysis“: finde zu bekannten unentscheidbaren Logiken neue entscheidbare
”
Versionen mit eventuell auch anderen wünschenswerten Eigenschaften, die
dennoch stark genug für Anwendungen sind. Seither entwickelte sich das
Gebiet zu einer vielfältigen Landschaft, in der die ursprünglichen, unentscheidbaren
Logiken nur eine spezielle Variante darstellen. (Forschungszentren:
Amsterdam (Betonung auf Modallogik und Kripke-Semantik), Budapest
(Betonung auf Relationenalgebren), Sofia (s. Kapitel 7)).
Die 10 Kapitel des Buchs (von verschiedenen Autoren verfaßt) sind in
zwei Teile gegliedert: Teil 1 (7 Kapitel): eigentliche Arrow Logic, Teil 2 (3
Kapitel): Arrow Logic Analysis. Kapitel 1: Einführung. Kapitel 2: In der
Semantik geordneter Paare sind - sofern man an die Relationen in den Modellen
höchstens die Forderungen der Reflexivität, Symmetrie oder Transitivität
stellt - Entscheidbarkeit, endliche Axiomatisierbarkeit, Craigsche
Interpolationseigenschaft und Bethsche Definierbarkeitseigenschaft für eine
Arrow Logic dann gegeben, wenn die Forderung nach Transitivität entfällt,
anderenfalls liegt keine der Eigenschaften vor. Das heißt auch, daß die Eigenschaften
erreicht werden, wenn die Assoziativität der Zusammensetzung
aufgegeben wird. Kapitel 3 und 4 arbeiten scharfe Grenzen zwischen entscheidbaren
und unentscheidbaren (Modal-)Logiken heraus. Auch hierbei
spielt die Assoziativität eine bedeutende Rolle. Kapitel 5 vergleicht Arrow
Logic mit Dynamischer Aussagenlogik. Kapitel 6: Arrow Logic, bei der die
Inverse durch zwei andere Operationen ersetzt wird, erweist sich als Erweiterung
des Lambek-Kalküls. Kapitel 7 umreißt den Forschungsansatz aus
Sofia samt historischer Einleitung (Multi-Graphen als bevorzugte Modelle,
veränderte Sprache; in dieser Arbeit Pfeile zu n-dimensionalen Objekten
verallgemeinert). Kapitel 8 ist methodologisch orientiert, stellt erweiterte
Modallogiken in einen vereinheitlichten Rahmen auf abstrakter Ebene
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