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(vergleichbar mit Abstrakter Modelltheorie); wird Arrow Logic in diesem
Rahmen gesehen, verschwindet die scharfe Grenze zwischen entscheidbarer
Aussagen- und unentscheidbarer Prädikatenlogik. Kapitel 9 umreißt in Form
eines Essays das Forschungsprogramm der Arrow Logic Analysis“ vor allem
aus der Sicht der angewandten Logik. Kapitel ”
10 bringt entscheidbare
Versionen der Prädikatenlogik 1. Stufe.
P. Teleč (Wien)
Tymoczko Th. (Ed.): New Directions in the Philosophy of Mathematics.
An Anthology. Revised and Expanded Edition. Princeton University
Press, Princeton, New Jersey, 1998, XVII+436 S. ISBN 0-691-03498-2
P/b $ 24,95.
Mit dem Stichwort ‘Philosophie der Mathematik’ identifiziert man spontan
traditionelle Debatten über das grundlegende Wesen mathematischer
Objekte und mathematischer Erkenntnis und die verschiedenen Schulen wie
Platonismus, Intuitionismus etc. sowie die Frage nach den ‘richtigen’ Axiomen,
etwa in der Mengenlehre. Dieses Buch – ein Kompilat mehrerer Aufsätze,
ergänzt durch Kommentare des Herausgebers – nähert sich dem Thema
in anderer, teilweise weniger ‘fundamentalistischer’, aber hochinteressanter
Weise:
Die Debatte über die Grundlagen wird nie entschieden werden, und der
Traum von der absoluten Erkenntnis ist durch Leute wie Russell oder Gödel
schwer erschüttert. Was bleibt also? Viele hochrelevante und aktuelle Fragen,
etwa was die Beziehung der Mathematik zu den Naturwissenschaften betrifft
(ist Mathematik eine Naturwissenschaft?), sowie die Frage nach der Natur
mathematischer Beweise (wenn Beweise so wichtig sind, wieso wissen wir so
wenig darüber?), inklusive der Rolle der Computer, und vieles andere.
So ist etwa die Frage: ”
Wie stehen Formalismen und Inhalte zueinander
in Beziehung?“ durchaus nichttrivial, wie man sieht, wenn man etwa an die
verschiedenen Definitionen des Ableitungsbegriffs denkt, z.B.: ‘The derivative
of a real-valued function f in a domain D is the Lagrangian section of
the cotangent bundle T ∗ (D) that gives the connection form for the unique
flat connection on the trivial IR-bundle D × IR for which the graph of f is
parallel.’
Die meisten der Beiträge zu diesem Band sehen Mathematik auch als
sozialen Prozeß und nicht nur als kalten Formalismus, wie etwa in folgendem
Zitat zum Ausdruck kommt: ‘If the mathematical process were really one of
strict, logical progression, we would still be counting our fingers.’
Nicht zuletzt hat man mit diesem Buch einen reichen Zitatenschatz in
der Hand, und auch die eine oder andere schöne Geschichte wird erzählt,
wie etwa die von den nicht-Riemannschen Hyperquadraten. Sehr lesenswert.
W. Auzinger (Wien)
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